نظریه پیکار-لفسچتز
در ریاضیات، نظریه پیکار-لفسچتز به مطالعه توپولوژی منیفلدهای مختلط از طریق بررسی نقاط بحرانی توابع هولومورفیک میپردازد. این نظریه نخستین بار توسط امیل پیکار برای سطوح مختلط در کتابش معرفی شد و بعدها به ابعاد بالاتر تعمیم یافت. نظریه پیکار-لفسچتز بهعنوان مشابه مختلط نظریه مورس شناخته میشود که توپولوژی منیفلدهای حقیقی را از طریق نقاط بحرانی توابع حقیقی مطالعه میکند.
این نظریه بعدها به انواع متنوعتری از فضاهای جبری تعمیم یافت و پییر دلین از این تعمیم در اثبات حدسهای وایل استفاده کرد.
فرمول پیکار-لفسچتز
فرمول پیکار-لفسچتز، مونodromی در یک نقطه بحرانی را توصیف میکند. فرض کنید f نگاشت هولومورفیکی از یک منیفلد مختلط (k+1)-بعدی به خط مختلط P¹ باشد. همچنین فرض کنید تمام نقاط بحرانی غیرمنحط و در فیبرهای مختلف قرار دارند و تصاویر آنها x₁, ..., xₙ در P¹ باشند. نقطه دیگری به نام x در P¹ انتخاب کنید. گروه بنیادی π₁(P¹ – {x₁, ..., xₙ}, x) توسط حلقههایی به نام wᵢ که دور نقاط xᵢ میچرخند، تولید میشود. به هر نقطه xᵢ یک چرخه ناپدیدشونده در همولوژی Hₖ(Yₓ) فیبر در x نسبت داده میشود.
عمل مونodromی گروه بنیادی بر Hₖ(Yₓ) توسط فرمول پیکار-لفسچتز توصیف میشود. عمل مونodromی یک مولد wᵢ بر عنصر ∈ Hₖ(Yₓ) به صورت زیر است:
wᵢ(γ) = γ + (γ · δᵢ)δᵢ
که در آن δᵢ چرخه ناپدیدشونده مربوط به xᵢ است.
مثال
خانواده هیپرالiptic منحنیهای جنس g را در نظر بگیرید که توسط رابطه زیر تعریف میشود:
y² = ∏(x - λᵢ)
که در آن λ پارامتر و ∑λᵢ = 0 است. این خانواده در مواردی که λᵢ = λⱼ باشد، دارای انحطاط نقاط دوگانه است. فرم تقاطع یک منحنی عمومی در این خانواده ماتریسی است که میتوان از آن برای محاسبه فرمول پیکار-لفسچتز حول یک انحطاط استفاده کرد.