یانیت مرتب (Order Unit)

یانیت مرتب (Order Unit) چیست؟

یانیت مرتب عنصری در فضای برداری مرتب است که می‌توان از آن برای محدود کردن تمامی عناصر فضا از بالا استفاده کرد. به این ترتیب (همان‌طور که در نخستین مثال زیر مشاهده می‌کنید)، یانیت مرتب مفهوم عنصر واحد را در اعداد حقیقی تعمیم می‌دهد.

طبق گفته اچ. اچ. شفر: «بیشتر فضاهای برداری مرتبی که در آنالیز ریاضی پدیدار می‌شوند، یانیت مرتب ندارند.»

تعریف

برای مخروط مرتب‌سازی C در فضای برداری X، عنصر e یک یانیت مرتب (به‌طور دقیق‌تر، یک C-یانیت مرتب) است اگر برای هر x در X، یک λ > 0 وجود داشته باشد به‌طوری‌که x ≤ λe (یعنی λe - x ∈ C).

تعریف معادل

یانیت‌های مرتبِ یک مخروط مرتب‌سازی C، همان عناصر قرار گرفته در داخل جبری C هستند؛ به بیان دیگر:

algint(C)

مثال‌ها

• فرض کنید X مجموعه اعداد حقیقی و C اعداد حقیقی نامنفی باشد؛ در این حالت، عنصر واحد 1 یک یانیت مرتب است.
• فرض کنید X فضای توابع پیوسته روی مجموعه‌ای فشرده و C مخروط توابع غیرمنفی باشد؛ در این حالت نیز تابع ثابت 1 یک یانیت مرتب است.
• هر نقطه درونیِ مخروط مثبت در یک فضای برداری توپولوژیک مرتب، یک یانیت مرتب محسوب می‌شود.

ویژگی‌ها

• هر یانیت مرتب در یک فضای برداری توپولوژیک مرتب (TVS)، نسبت به توپولوژی مرتب، در ناحیه درونی مخروط مثبت قرار دارد.
• اگر X یک فضای برداری پیش‌مرتب روی اعداد حقیقی با یانیت مرتب e باشد، آنگاه نگاشت p(x) = inf { λ > 0 : x ≤ λe } یک فرانض زیرخطی است.

نرم یانیت مرتب

فرض کنید X یک فضای برداری مرتب روی اعداد حقیقی با یانیت مرتب e باشد که مرتب آن ارشمیدسی است. همچنین مجموعه U را به شکل زیر در نظر بگیرید:

U = [-e, e] = { x ∈ X : -e ≤ x ≤ e }

آنگاه، تابعک مینکوفسکیِ p_U که به صورت p_U(x) = inf { λ > 0 : x ∈ λU } تعریف می‌شود، یک نرم به نام نرم یانیت مرتب است.

این نرم شرط p_U(e) = 1 را برآورده می‌کند و گوی واحد بستهِ تعیین‌شده توسط آن با U برابر است؛ یعنی:

{ x ∈ X : p_U(x) ≤ 1 } = U