ماتریس بلوکی چیست؟
در ریاضیات، ماتریس بلوکی (Block Matrix) یا ماتریس پارتیشنشده، ماتریسی است که به بخشهای کوچکتری به نام بلوک یا زیرماتریس تقسیم میشود. به طور شهودی، میتوان این ماتریس را با مجموعهای از خطوط افقی و عمودی تصور کرد که ماتریس اصلی را به مجموعهای از ماتریسهای کوچکتر تجزیه میکنند. هر ماتریسی را میتوان به یک یا چند روش به صورت بلوکی تفسیر کرد؛ نحوه این تفسیر به چگونگی پارتیشنبندی سطرها و ستونها بستگی دارد.
برای یک ماتریس m × n، این مفهوم با پارتیشنبندی سطرها به مجموعهای و ستونها به مجموعهای دیگر دقیقتر میشود. ماتریس اصلی مجموع این گروهها در نظر گرفته میشود؛ به این معنا که هر درایه ماتریس اصلی با یک درایه خاص در یکی از زیرماتریسها متناظر است.
جبر ماتریسهای بلوکی به طور کلی از حاصلضربهای دوقطری در دسته ماتریسها نشأت میگیرد.
مثال از ماتریس بلوکی
یک ماتریس را میتوان به چهار بلوک ۲×۲ پارتیشنبندی کرد. پس از این پارتیشنبندی، میتوان ماتریس جدید را به صورت فشرده و با استفاده از زیرماتریسها نوشت.
ضرب ماتریسهای بلوکی
در ضرب ماتریسهای پارتیشنشده، میتوان تنها با استفاده از جبر زیرماتریسها عمل ضرب را انجام داد. البته پارتیشنبندی عوامل ضرب دلخواه نیست و نیازمند «پارتیشنهای سازگار» است تا تمام ضربهای زیرماتریسی تعریفشده باشند. اگر ماتریس اول دارای پارتیشنهای مشخصی از سطر و ستون باشد و ماتریس دوم نیز پارتیشنبندی سازگاری با آن داشته باشد، ضرب ماتریسی را میتوان به صورت بلوکی انجام داد.
درایههای ماتریس حاصل از طریق ضرب زیرماتریسها محاسبه میشوند. همچنین میتوان از نمادگذاری اینشتین که جمع بر اندیسهای تکراری را به صورت ضمنی انجام میدهد، برای سادهسازی این محاسبات استفاده کرد.
معکوس ماتریس بلوکی
اگر ماتریسی به چهار بلوک پارتیشنبندی شده باشد، معکوس آن را میتوان به صورت بلوکی محاسبه کرد. در این حالت، A و D بلوکهای مربعی با اندازه دلخواه هستند و B و C با آنها سازگاری دارند. علاوه بر این، A و مکمل شور A در ماتریس P باید قابل معکوسپذیری باشند.
با جابجایی بلوکها نیز میتوان به فرمول معادل دیگری رسید که در آن D و مکمل شور D باید معکوسپذیر باشند. اگر هر دو بلوک A و D معکوسپذیر باشند، فرمولهای مشخصی برای محاسبه معکوس وجود دارد. بر اساس اتحاد واینستاین-آرونسزاجن، یکی از دو ماتریس در ماتریس قطری بلوکی دقیقاً زمانی معکوسپذیر است که دیگری معکوسپذیر باشد.
دترمینان ماتریس بلوکی
فرمول دترمینان برای ماتریسهای چهار بلوکی، با فرضیات تکمیلی مناسب نیز برقرار است. سادهترین این فرمولها که با استفاده از فرمول لایبنیتس یا مکمل شور اثبات میشود، به دست میآید. با این فرمول میتوان نشان داد که چندجملهایهای مشخصه ماتریس اصلی و ماتریس قطری بلوکی با هم برابرند. همچنین اگر یکی از بلوکهای قطری قطریپذیر باشد، ماتریسهای حاصل نیز قطریپذیر خواهند بود (اما عکس این مطلب همواره صادق نیست).
اگر بلوک A معکوسپذیر باشد، فرمول مشخصی برای دترمینان وجود دارد. اگر ماتریس از نوع ماتریس ۲×۲ بلوکی باشد، این فرمول سادهتر میشود. اگر بلوکها ماتریسهای مربعی هماندازه باشند و جابجاییپذیر باشند، فرمولهای دیگری اعمال میشود. این فرمولها به ماتریسهایی با بیش از چهار بلوک نیز تعمیم مییابند. حتی در صورت عدم جابجاییپذیری نیز فرمولهای خاصی برای محاسبه دترمینان وجود دارد.
ماتریسهای قطری بلوکی
ماتریس قطری بلوکی، ماتریس مربعی است که بلوکهای روی قطر اصلی آن مربعی بوده و سایر بلوکها ماتریس صفر هستند. به عبارت دیگر، این ماتریس مجموع مستقیم چند ماتریس مربعی است. هر ماتریس مربعی را میتوان به سادگی یک ماتریس قطری بلوکی با تنها یک بلوک در نظر گرفت.
برای دترمینان و ترس این ماتریسها، روابط خاصی برقرار است. یک ماتریس قطری بلوکی تنها زمانی معکوسپذیر است که تمام بلوکهای قطر اصلیاش معکوسپذیر باشند؛ در این حالت، معکوس آن نیز یک ماتریس قطری بلوکی است. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه این ماتریس، ترکیبی از مقادیر و بردارهای ویژه بلوکهای تشکیلدهنده آن هستند.
ماتریسهای سهقطری بلوکی
ماتریس سهقطری بلوکی نوع دیگری از ماتریسهای بلوکی است که فقط در قطر اصلی و قطریهای بالا و پایین آن زیرماتریسهای مربعی قرار دارند و سایر بلوکها صفر هستند. این ماتریسها در حل عددی مسائل مهندسی (مانند دینامیک سیالات محاسباتی) بسیار کاربرد دارند.
روشهای عددی بهینهشدهای برای تجزیه LU وجود دارد که الگوریتمهای حل معادلات با ماتریس ضرایب سهقطری بلوکی را کارآمد میکند. الگوریتم توماس نیز میتواند با استفاده از عملیات ماتریسی روی این ساختارها اعمال شود.
ماتریسهای تویپلیتز بلوکی
ماتریس تویپلیتز بلوکی ساختاری دارد که در آن بلوکها در امتداد قطرهای ماتریس تکرار میشوند؛ درست مانند ماتریس تویپلیتز که درایههایش در امتداد قطر تکرار میشوند.
ترانهاده بلوکی
برای ماتریسهای بلوکی، نوع خاصی از ترانهاده تعریف میشود که در آن ترتیب بلوکها جابجا میشود اما خود بلوکها ترانهاده نمیشوند. مانند عملگر ترس معمولی، ترانهاده بلوکی یک نگاشت خطی است؛ اما ویژگی (AB)^T = B^T A^T تنها در صورتی برقرار است که بلوکهای A و B جابجاییپذیر باشند.
مجموع مستقیم
برای دو ماتریس با ابعاد دلخواه، مجموع مستقیم آنها تعریف میشود و در واقع ماتریسی است که این دو را در قطر اصلی خود جای داده و سایر درایههایش صفر است. این عملیات به طور طبیعی به آرایههای با ابعاد دلخواه تعمیم مییابد. هر عنصر در مجموع مستقیم دو فضای برداری ماتریسی را میتوان به عنوان مجموع مستقیم دو ماتریس نمایش داد.
کاربردهای ماتریس بلوکی
از منظر جبر خطی، استفاده از ماتریس بلوکی معادل با در نظر گرفتن یک نگاشت خطی بر اساس «دستههایی» از بردارهای پایه است. این دیدگاه با ایده تجزیه مجموع مستقیم دامنه و بُرد مطابقت دارد. اگر یکی از بلوکها ماتریس صفر باشد، اهمیت ویژهای پیدا میکند؛ زیرا نشان میدهد یک جزء به یک زیرفضا نگاشت میشود.
برای ماتریسهای مربعی، ساختار بلوکی که در آن سطرها و ستونها به یک صورت دستهبندی شدهاند، اهمیت زیادی دارد زیرا با یک تجزیه مجموع مستقیم منفرد در فضای برداری مطابقت دارد. این ساختار برای توصیف قالب جردن ضروری است.
این تکنیک برای کاهش محاسبات ماتریسی، بسط ستون-سطری و کاربردهای علوم کامپیوتر از جمله طراحی تراشههای VLSI استفاده میشود. الگوریتم استراسن برای ضرب سریع ماتریسها و کدگذاری هامینگ (7,4) برای تشخیص و تصحیح خطا در انتقال دادهها نمونههایی از این کاربرد هستند.
همچنین زمانی میتوان از این تکنیک استفاده کرد که درایههای بلوکها لزوماً همگی متعلق به یک میدان نباشند. مثلاً بلوک A روی میدان اعداد مختلط و بلوک D روی میدان اعداد حقیقی تعریف شده باشد. از آنجا که اعداد حقیقی زیرمیدانی از مختلطها هستند، عملیات ماتریسی به خوبی تعریف میشوند و همزمان محاسبات درون یک بلوک سادهتر خواهد بود.