مسیر خود-اجتنابی: سفری در دنیای ریاضیات و فیزیک

در دنیای ریاضیات، مسیر خود-اجتنابی (Self-Avoiding Walk - SAW) به دنباله‌ای از حرکات در یک شبکه (یا مسیر شبکه‌ای) گفته می‌شود که در آن هیچ نقطه‌ای بیش از یک بار بازدید نمی‌شود. این مفهوم، حالت خاصی از مفهوم نظریه گراف برای مسیر است. چندضلعی خود-اجتنابی (Self-Avoiding Polygon - SAP) نیز نوعی مسیر خود-اجتنابی بسته در شبکه است.

از دیدگاه ریاضی، دانش ما در مورد مسیر خود-اجتنابی بسیار محدود است، هرچند فیزیکدانان حدس‌های متعددی را مطرح کرده‌اند که باور عمومی بر درستی آن‌هاست و شواهد قوی از طریق شبیه‌سازی‌های عددی نیز آن‌ها را تأیید می‌کند.

مسیر خود-اجتنابی در فیزیک محاسباتی

در فیزیک محاسباتی، مسیر خود-اجتنابی به مسیری زنجیره‌مانند در ابعاد Ⅱ یا Ⅲ با تعداد مشخصی گره گفته می‌شود. این مسیر معمولاً طول گام ثابتی دارد و ویژگی اصلی آن این است که نه خود را قطع می‌کند و نه با مسیر دیگری تداخل دارد. سیستمی از مسیرهای خود-اجتنابی از شرط موسوم به حجم انحصاری (excluded volume condition) پیروی می‌کند.

در ابعاد بالاتر، اعتقاد بر این است که مسیر خود-اجتنابی رفتاری شبیه به مسیر تصادفی معمولی دارد. مسیرها و چندضلعی‌های خود-اجتنابی نقش محوری در مدل‌سازی رفتار توپولوژیکی و گره‌ای مولکول‌های نخ‌مانند و حلقوی مانند پروتئین‌ها ایفا می‌کنند. در واقع، ممکن است مسیرهای خود-اجتنابی اولین بار توسط شیمیدان، پل فلوری (Paul Flory)، برای مدل‌سازی رفتار واقعی موجودیت‌های زنجیره‌مانند مانند حلال‌ها و پلیمرها معرفی شده باشند، زیرا حجم فیزیکی آن‌ها مانع از اشغال چندباره یک نقطه فضایی توسط آن‌ها می‌شود.

ابعاد فراکتالی

مسیرهای خود-اجتنابی، فراکتال هستند. برای مثال:

• در Ⅱ، بعد فراکتالی 4/3 است.
• در Ⅲ، این بعد به 5/3 نزدیک است.
• در Ⅳ، بعد فراکتالی برابر با 2 است.

این بعد، بعد بحرانی بالایی (upper critical dimension) نامیده می‌شود؛ ابعادی که فراتر از آن، حجم انحصاری ناچیز می‌شود. اخیراً مسیری خود-اجتنابی که شرط حجم انحصاری را برآورده نمی‌کند، برای مدل‌سازی هندسه صریح سطوح ناشی از انبساط یک مسیر خود-اجتنابی مورد مطالعه قرار گرفته است.

شبیه‌سازی‌های عددی

خواص مسیرهای خود-اجتنابی را نمی‌توان به صورت تحلیلی محاسبه کرد، بنابراین از شبیه‌سازی‌های عددی استفاده می‌شود. الگوریتم پیوت (pivot algorithm) یک روش متداول برای شبیه‌سازی‌های مونت کارلو زنجیره مارکوف برای اندازه‌گیری یکنواخت بر روی مسیرهای خود-اجتنابی n-گامی است. این الگوریتم با گرفتن یک مسیر خود-اجتنابی، انتخاب تصادفی یک نقطه روی آن، و سپس اعمال تبدیلات متقارن (چرخش و بازتاب) بر روی مسیر پس از گام k برای ایجاد مسیری جدید کار می‌کند.

محاسبه تعداد مسیرهای خود-اجتنابی در هر شبکه دلخواه، یک مسئله محاسباتی رایج است. در حال حاضر فرمول شناخته‌شده‌ای برای آن وجود ندارد، هرچند روش‌های دقیقی برای تقریب آن وجود دارد.

جهان‌شمولی (Universality)

یکی از پدیده‌های مرتبط با مسیرهای خود-اجتنابی و مدل‌های فیزیک آماری به طور کلی، مفهوم جهان‌شمولی است؛ یعنی استقلال مشاهدات ماکروسکوپیک از جزئیات میکروسکوپیک، مانند انتخاب شبکه. یک کمیت مهم که در حدس‌های مربوط به قوانین جهان‌شمول ظاهر می‌شود، ثابت اتصال (connective constant) است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

فرض کنید c_n تعداد مسیرهای خود-اجتنابی n-گامی باشد. از آنجایی که هر مسیر خود-اجتنابی n+m-گامی را می‌توان به یک مسیر خود-اجتنابی n-گامی و یک مسیر خود-اجتنابی m-گامی تجزیه کرد، نتیجه می‌گیریم که c_n+m ≤ c_nc_m. بنابراین، دنباله c_n نیم‌گروهی است و می‌توان از لم فِکِته (Fekete's lemma) استفاده کرد تا نشان داد حد زیر وجود دارد:

κ = ∑ ₙ⁺₀⁺¹ ⁺¹ ⁺⁻¹ ⁺⁻¹⁺⁻¹ ⁺⁻¹⁺⁻¹ ⁺⁻¹ ⁺⁻¹ ⁺⁻¹ ⁺⁻¹⁺⁻¹

κ به عنوان ثابت اتصال نامیده می‌شود، زیرا اگرچه c_n به شبکه خاص انتخاب شده برای مسیر بستگی دارد، اما κ نیز به همین ترتیب است. مقدار دقیق κ تنها برای شبکه شش‌ضلعی شناخته شده است، که برابر است با:

κ = ∑ ₙ⁺₀⁺¹ ⁺¹ ⁺⁻¹ ⁺⁻¹⁺⁻¹ ⁺⁻¹⁺⁻¹⁺⁻¹⁺⁻¹⁺⁻¹⁺⁻¹

برای شبکه‌های دیگر، κ تنها به صورت عددی تقریب زده شده است و باور بر این است که حتی یک عدد جبری هم نیست. حدس زده می‌شود که:

c_n ∼ μ γⁿ n^γ-1

به طوری که n → ∞، که در آن μ به شبکه بستگی دارد، اما تصحیح توان γ جهان‌شمول نیست؛ به عبارت دیگر، این قانون جهان‌شمول تلقی می‌شود.

در شبکه‌ها

مسیرهای خود-اجتنابی در چارچوب نظریه شبکه‌ها نیز مورد مطالعه قرار گرفته‌اند. در این زمینه، معمولاً مسیر خود-اجتنابی به عنوان یک فرآیند پویا در نظر گرفته می‌شود، به طوری که در هر گام زمانی، یک پیاده‌رو به طور تصادفی بین گره‌های همسایه شبکه می‌پرد. مسیر زمانی پایان می‌یابد که پیاده‌رو به یک حالت بن‌بست برسد، به طوری که دیگر نتواند به گره‌های بازدید نشده جدیدی پیشرفت کند. اخیراً مشخص شده است که در شبکه‌های اردوش-رنی (Erdős–Rényi)، توزیع طول مسیرهای چنین مسیرهای خود-اجتنابی که به صورت پویا رشد می‌کنند، به صورت تحلیلی قابل محاسبه است و از توزیع گومپرتز (Gompertz distribution) پیروی می‌کند.

محدودیت‌ها

اندازه گیری یکنواخت بر روی مسیرهای خود-اجتنابی n-گامی در صفحه کامل را در نظر بگیرید. در حال حاضر مشخص نیست که آیا حد اندازه‌گیری یکنواخت به عنوان n → ∞، یک اندازه‌گیری بر روی مسیرهای خود-اجتنابی بی‌نهایت در صفحه کامل را القا می‌کند یا خیر. با این حال، هری کِستِن (Harry Kesten) نشان داده است که چنین اندازه‌گیری برای مسیرهای خود-اجتنابی در نیم‌صفحه وجود دارد. یک سوال مهم مربوط به مسیرهای خود-اجتنابی، وجود و ناوردایی همدیس (conformal invariance) حد مقیاس (scaling limit) است؛ یعنی حد زمانی که طول مسیر به بی‌نهایت میل می‌کند و مش شبکه به صفر میل می‌کند. حد مقیاس مسیر خود-اجتنابی، طبق حدس‌ها، توسط تکامل شرام-لوونر (Schramm–Loewner evolution) با پارامتر κ = 6 توصیف می‌شود.

جستارهای وابسته

• چندضلعی‌ها
• هندسه گسسته
• فیزیک محاسباتی
• شیمی محاسباتی
• انواع مسیرهای تصادفی

منابع

مطالعه بیشتر

پیوندهای خارجی

— تعداد مسیرهای خود-اجتنابی که گوشه‌های مقابل یک شبکه N × N را به هم متصل می‌کنند، برای N از 0 تا 12. همچنین شامل لیستی گسترده تا N = 21 است.

• اپلت جاوا از مسیر خود-اجتنابی دوبعدی

• پیاده‌سازی عمومی پایتون برای شبیه‌سازی SAW و FiberWalks انبساطی در شبکه‌های مربعی در ابعاد n

• نرم‌افزار Norris برای تولید SAW در مکعب الماسی