اُلوئید: شکل هندسی شگفت‌انگیز

اُلوئید چیست؟

اُلوئید (Oloid) یک جسم هندسی سه‌بعدی منحنی است که در سال ۱۹۲۹ توسط پل شاتز کشف شد. این شکل، پوش محدب (convex hull) یک چارچوب اسکلتی است که از قرار دادن دو دایره هم‌اندازه و پیوسته در صفحات عمود بر هم به گونه‌ای ساخته می‌شود که مرکز هر دایره روی لبه دایره دیگر قرار گیرد. فاصله بین مراکز دو دایره برابر با شعاع آن‌هاست.

یک سوم محیط هر دایره در داخل پوش محدب قرار می‌گیرد. بنابراین، همین شکل را می‌توان به عنوان پوش محدب دو کمان دایره‌ای باقی‌مانده که هر کدام زاویه 4π/3 را پوشش می‌دهند، نیز ایجاد کرد.

مساحت سطح و حجم

مساحت سطح یک اُلوئید برابر با مساحت سطح یک کره با همان شعاع است.

حجم محصور شده در اُلوئید به صورت بسته به این صورت بیان می‌شود:

$$V = \frac{2\sqrt{2}}{3} r^3 \left( 2 E \left( \frac{\pi}{4}, \sqrt{2} \right) + \sqrt{2} F \left( \frac{\pi}{4}, \sqrt{2} \right) \right)$$

که در آن F و E به ترتیب انتگرال‌های بیضوی کامل نوع اول و دوم هستند. محاسبه عددی این مقدار به صورت تقریبی برابر است با:

$$V \approx 1.767 r^3 $$

جنبش‌شناسی (Kinetics)

سطح اُلوئید یک سطح قابل توسعه (developable surface) است؛ به این معنی که بخش‌هایی از سطح آن را می‌توان در یک صفحه صاف کرد. هنگام غلتیدن، تمام سطح آن باز می‌شود: هر نقطه از سطح اُلوئید در نقطه‌ای از حرکت غلتشی، با صفحه زیرین خود تماس پیدا می‌کند.

برخلاف بیشتر اجسام متقارن محوری (مانند استوانه، کره و غیره)، هنگام غلتیدن روی سطح صاف، مرکز جرم اُلوئید به جای حرکت خطی، حرکتی زیگزاگ (meander motion) را طی می‌کند. در هر چرخه غلتشی، فاصله بین مرکز جرم اُلوئید و سطح غلتش دارای دو نقطه حداقل و دو نقطه حداکثر است. اختلاف بین حداکثر و حداقل ارتفاع به صورت زیر است:

$$ \Delta h = \left( \sqrt{2} - 1 \right) r \approx 0.414 r $$

از آنجایی که این اختلاف نسبتاً کم است، حرکت غلتشی اُلوئید نسبتاً روان است.

در هر نقطه از این حرکت غلتشی، اُلوئید در یک پاره‌خط با صفحه تماس دارد. طول این پاره‌خط در طول حرکت ثابت می‌ماند و برابر است با:

$$ L = \sqrt{2} r $$

اشکال مرتبط

اسفریکون (Sphericon)

اسفریکون، پوش محدب دو نیم‌دایره در صفحات عمود بر هم است که مراکزشان در یک نقطه قرار دارند. سطح آن از قطعات چهار مخروط تشکیل شده است. این شکل از نظر ظاهری شبیه به اُلوئید است و مانند آن، یک سطح قابل توسعه است که با غلتیدن توسعه می‌یابد. با این حال، استوای آن یک مربع با چهار گوشه تیز است، برخلاف اُلوئید که گوشه تیز ندارد.

غلتک دو دایره‌ای (Two Circle Roller)

جسم دیگری به نام غلتک دو دایره‌ای از دو دایره عمود بر هم تعریف می‌شود که فاصله بین مراکز آن‌ها √2 برابر شعاعشان است، یعنی دورتر از اُلوئید قرار دارند. این جسم می‌تواند (مانند اُلوئید) به عنوان پوش محدب دایره‌ها تشکیل شود، یا با استفاده از تنها دو دیسک محدود شده توسط دو دایره. برخلاف اُلوئید، مرکز ثقل آن در فاصله ثابتی از زمین باقی می‌ماند، بنابراین روان‌تر از اُلوئید می‌غلتد.

در فرهنگ عامه

در سال ۱۹۷۹، آلن بوئدینگ، رقصنده مدرن، مجسمه "Circle Walker" خود را از دو نیم‌دایره متقاطع ساخت که شکلی اسکلتی از اسفریکون را تشکیل می‌داد؛ شکلی با حرکت غلتشی شبیه به اُلوئید. او در سال ۱۹۸۰ به عنوان بخشی از برنامه کارشناسی ارشد مجسمه‌سازی در دانشگاه ایندیانا، با نسخه‌ای بزرگ‌تر از این مجسمه شروع به رقص کرد و پس از پیوستن به گروه رقص MOMIX در سال ۱۹۸۴، این قطعه در اجراهای گروه گنجانده شد. قطعه بعدی این گروه به نام "Dream Catcher" بر اساس مجسمه دیگری از بوئدینگ ساخته شده است که اشکال اشک‌مانند به هم پیوسته آن، اسکلت و حرکت غلتشی اُلوئید را در بر می‌گیرد.

منابع

[منابع اصلی و پیوندها در اینجا قرار می‌گیرند]

پیوندهای خارجی

• غلتیدن اُلوئید، فیلم‌برداری شده در مرکز علمی سوئیس Technorama، وینترتور، سوئیس.
• مدل کاغذی اُلوئید: اُلوئید خود را بسازید.
• شبکه اُلوئید: شبکه چندضلعی اُلوئید و کد تولید آن.

مقالات مرتبط

• اشکال هندسی
• مقالات حاوی کلیپ‌های ویدئویی