قانون احتمال کل
در نظریه احتمالات، قانون احتمال کل (یا فرمول احتمال کل) یک قاعده بنیادی است که احتمالات حاشیهای را به احتمالات شرطی مرتبط میکند. این قانون، احتمال کل یک نتیجه را که از طریق چندین رویداد مجزا قابل تحقق است، بیان میکند و نام خود را از همین موضوع گرفته است.
بیان قانون
قانون احتمال کل، قضیهای است که در حالت گسسته بیان میکند اگر مجموعهای متناهی یا شمارا از رویدادهای مجزای متقابل باشد که اجتماعشان کل فضای نمونه را تشکیل میدهد (یعنی یک افراز از فضای نمونه باشد) و هر رویداد اندازهپذیر باشد، آنگاه برای هر رویداد از همان فضای نمونه:
یا به طور جایگزین:
که در آن، برای هر ، اگر ، آنگاه این جملات از مجموع به سادگی حذف میشوند زیرا متناهی است.
این مجموع را میتوان به عنوان یک میانگین وزنی تفسیر کرد و در نتیجه، احتمال حاشیهای ، گاهی اوقات "احتمال متوسط" نامیده میشود؛ "احتمال کلی" نیز گاهی در نوشتههای غیررسمیتر به کار میرود.
قانون احتمال کل را میتوان برای احتمالات شرطی نیز بیان کرد:
با در نظر گرفتن مانند بالا، و با فرض اینکه رویدادی مستقل از هر یک از باشد:
حالت پیوسته
قانون احتمال کل به مورد شرطیسازی بر روی رویدادهای تولید شده توسط متغیرهای تصادفی پیوسته نیز گسترش مییابد. فرض کنید یک فضای احتمال باشد. فرض کنید متغیر تصادفی با تابع توزیع باشد، و رویدادی در باشد. آنگاه قانون احتمال کل بیان میدارد:
اگر دارای تابع چگالی باشد، آنگاه نتیجه این است:
علاوه بر این، برای حالت خاصی که ، که در آن یک مجموعه بورل است، آنگاه این نتیجه میدهد:
مثال
فرض کنید دو کارخانه لامپهای روشنایی را به بازار عرضه میکنند. لامپهای کارخانه X در 99٪ موارد بیش از 5000 ساعت کار میکنند، در حالی که لامپهای کارخانه Y در 95٪ موارد بیش از 5000 ساعت کار میکنند. مشخص است که کارخانه X 60٪ از کل لامپهای موجود را تأمین میکند و کارخانه Y 40٪ از کل لامپهای موجود را تأمین میکند. شانس اینکه یک لامپ خریداری شده بیش از 5000 ساعت کار کند چقدر است؟
با اعمال قانون احتمال کل، داریم:
که در آن:
- احتمال این است که لامپ خریداری شده توسط کارخانه X تولید شده باشد.
- احتمال این است که لامپ خریداری شده توسط کارخانه Y تولید شده باشد.
- احتمال این است که لامپ تولید شده توسط X بیش از 5000 ساعت کار کند.
- احتمال این است که لامپ تولید شده توسط Y بیش از 5000 ساعت کار کند.
بنابراین، هر لامپ خریداری شده 97.4٪ شانس دارد که بیش از 5000 ساعت کار کند.
نامهای دیگر
اصطلاح قانون احتمال کل گاهی به معنی قانون جایگزینها در نظر گرفته میشود که یک حالت خاص از قانون احتمال کل است و برای متغیرهای تصادفی گسسته کاربرد دارد. یک نویسنده از اصطلاح "قاعده میانگین احتمالات شرطی" استفاده میکند، در حالی که نویسندهای دیگر در حالت پیوسته به آن "قانون پیوسته جایگزینها" اشاره میکند. این نتیجه توسط گریمِت و ولش به عنوان قضیه افراز ارائه شده است، نامی که آنها به قانون مرتبط انتظار کل نیز میدهند.
همچنین ببینید:
- قانون انتظار کل
- قانون واریانس کل
- قانون کوواریانس کل
- قانون کومولانس کل
- توزیع حاشیهای
منابع:
- Introduction to Probability and Statistics by Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks/Cole, 2005, page 159.
- Theory of Statistics, by Mark J. Schervish, Springer, 1995.
- Schaum's Outline of Probability, Second Edition, by John J. Schiller, Seymour Lipschutz, McGraw–Hill Professional, 2010, page 89.
- A First Course in Stochastic Models, by H. C. Tijms, John Wiley and Sons, 2003, pages 431–432.
- An Intermediate Course in Probability, by Alan Gut, Springer, 1995, pages 5–6.
قضایای احتمال
قوانین آماری