نگاشت گاوس چیست؟
در هندسه دیفرانسیل، نگاشت گاوس (Gauss map) تابعی است که هر نقطه از یک سطح را به بردار یکه عمود بر آن نقطه نسبت میدهد. فرض کنید سطح X در فضای اقلیدسی R³ قرار دارد. در این حالت، نگاشت گاوس تابعی مانند N است که از سطح X به کره یکه S² نگاشت میدهد؛ به این معنا که برای هر نقطه p روی سطح X، مقدار تابع N(p) برابر با بردار یکه عمود بر سطح در آن نقطه است. نام این نگاشت از کارل فریدریش گاوس گرفته شده است.
اگر سطح جهتپذیر (orientable) باشد، نگاشت گاوس را میتوان به صورت سراسری تعریف کرد؛ در این صورت درجه این نگاشت، نصف مشخصه اویلر خواهد بود. با این حال، همیشه میتوان نگاشت گاوس را به صورت موضعی (یعنی روی یک قطعه کوچک از سطح) تعریف کرد. دترمینان ژاکوبین نگاشت گاوس برابر با انحنای گاوسی است و دیفرانسیل آن را عملگر شکل (shape operator) مینامند. گاوس نخستین پیشنویس خود را درباره این موضوع در سال ۱۸۲۵ نوشت و در ۱۸۲۷ آن را منتشر کرد. همچنین برای پیوندها (links) نیز نگاشت گاوسی وجود دارد که عدد پیوند (linking number) را محاسبه میکند.
تعمیمها
نگاشت گاوس را میتوان برای ابرسطوحها (hypersurfaces) در فضای R^n نیز تعریف کرد؛ نگاشتی از ابرسطح به کره یکه S^(n-1). علاوه بر این، برای یک زیرمنیفولد جهتدار k-بعدی در فضای R^n نیز نگاشت گاوس قابل تعریف است. فضای هدف در این حالت، گراسمنیان جهتدار (oriented Grassmannian) است؛ یعنی مجموعه تمام k-صفحات جهتدار در R^n. در اینجا، هر نقطه از زیرمنیفولد به زیرفضای مماس جهتدار خود نگاشته میشود. همچنین میتوان آن را به زیرفضای نرمال جهتدار نگاشت داد؛ این دو روش به دلیل مکملسازی متعامد، معادل یکدیگرند. در فضای اقلیدسی سهبعدی، یک ۲-صفحه جهتدار با یک ۱-خط جهتدار (که معادل یک بردار نرمال یکه است) مشخص میشود؛ بنابراین این تعریف با تعریف پیشین سازگار است.
در نهایت، مفهوم نگاشت گاوس را میتوان برای یک زیرمنیفولد جهتدار X از بُعد k در یک منیفولد ریمانی جهتدار M از بُعد n تعمیم داد. در این حالت، نگاشت گاوس از X به مجموعه k-صفحات مماس در بسته مماس TM میرود. فضای هدف نگاشت N، بسته گراسمنی است که روی بسته مماس TM ساخته میشود. اگر M برابر با R^n باشد، بسته مماس بدیهی (trivialized) میشود (در نتیجه بسته گراسمنی به نگاشتی به گراسمنیان تبدیل میشود) و به تعریف قبلی میرسیم.
انحنای کل
مساحت تصویر نگاشت گاوس، انحنای کل (total curvature) نامیده میشود و معادل انتگرال سطحی انحنای گاوسی است. این همان تفسیر اصلی گاوس از مفهوم انحنای کل است. قضیه گاوس-بونه، انحنای کل یک سطح را به ویژگیهای توپولوژیکی آن مرتبط میسازد.
نقاط cusps نگاشت گاوس
نگاشت گاوس بازتابدهنده ویژگیهای بسیاری از سطح است: هرگاه سطح انحنای گاوسی صفر داشته باشد (یعنی در امتداد یک خط سهموی)، نگاشت گاوس دچار فروپاشی تاخوردگی (fold catastrophe) میشود. این تاخوردگی ممکن است شامل نقاط cusps باشد؛ نقاطی که توماس بانچف، ترنس گافنی و کلینت مککریوری آنها را به طور عمیق بررسی کردند. خطوط سهموی و نقاط cusp هر دو پدیدههایی پایدارند و تحت تغییر شکلهای جزئی سطح، دستنخورده باقی میمانند.
نقاط cusp در موارد زیر رخ میدهند:
- سطح دارای یک صفحه دوتاماسی (bi-tangent plane) باشد.
- یک برآمدگی (ridge) از خط سهموی در مرز مجموعه نقاط عطف منحنیهای مجانب سطح عبور کند.
نقاط cusp به دو نوع تقسیم میشوند: cusps بیضوی و cusps هذلولی.
منابع
- Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827)
- Gauss, K. F., General investigations of curved surfaces, English translation. Hewlett, New York: Raven Press (1965).
- Banchoff, T., Gaffney T., McCrory C., Cusps of Gauss Mappings, (1982) Research Notes in Mathematics 55, Pitman, London.
- Koenderink, J. J., Solid Shape, MIT Press (1990)