تعریف
در هندسهٔ دیفرانسیل، اتصال متریک به اتصالی گفته میشود که روی بند برداری E با متریک بند وجود دارد و ضرب داخلی بین دو برد را در هر نقطه حفظ میکند زمانی که این بردها به صورت موازی روی هر منحنی حمل میشوند. به بیان سادهتر، مشتق کاواریانسِ متریک روی E با ضرب داخلی سازگار است و این سازگاری تبدیل به حفظ ضرب داخلی در طول حرکت بردها میشود.
- این سازگاری به معنای حفظ ضرب داخلی در کل فضای فیبر است.
- می توان از این اتصال برای تعریف و محاسبهٔ کرِیروِر استفاده کرد، بدون نیاز به سازگاری با سایر ساختارهای متریک.
موارد ویژه
اتصال ریمانی یکی از نمونههای کلاسیکِ اتصالهای متریک است که روی بند تانژانت TM با متریک g تعریف میشود و حملِ موازی را حفظ میکند. Levi-Civita بهطور یکتا torsion-free است و به عنوان اتصال ریمانی شناخته میشود.
نمونهٔ دیگر اتصال Yang–Mills است که معادلهٔ حرکت Yang–Mills را ارضا میکند. حتی بدون سازگاری با متریک نیز میتوان بخشهایی از سازوکارِ اتصال و کرِیروِر را بررسی کرد؛ اما برای تعریف Hodge star و لاپلاسین به وجود متریک نیاز است.
مختصر تعاریف و عملیات پایه
فرض کنید به طور محلی برخی از بخشها را از E داریم و X یک بردار زمینه روی پایهٔ M است. اگر متریک بند روی E وجود داشته باشد، اتصال متریک تعریف میشود بهگونهای که مشتق کاواریانس با ضرب داخلی سازگار باشد و در نتیجه عملیاتهای پایهٔ مانند کمیسازی ضرب داخلی و محاسبات مربوط به کرِیروِر بهطور منطبق عمل کنند.
کرِیروِر و نمایشهای مختلف
کرِیروِر را میتوان با نمادهای مختلفی مانند F یا R نمایش داد. این کرِیروِر یک شکل 2-فرم با مقادیر در End(E) است و بدون نیاز به وجودِ متریک نیز میتوان آن را تعریف کرد. با وجود تفاوتهای نمادشناختی، این نمایشها به یک مفهوم واحد اشاره دارند.
مفاهیم مکمل
وقتی سازگاری با متریک برقرار میشود، میتوان هودهِ استار و لاپلاسین را تعریف کرد و به کمک آنها معادلههای فیزیکی مانند Yang–Mills را مطالعه کرد. در حالت بدون سازگاری با متریک، برخی از این ابزارها قابل تعریف نیستند یا محدود میشوند.
جمعبندی
اتصال متریک نقش کلیدی در هندسهٔ برداری و فیزیک نظری ایفا میکند. وجود این اتصال، امکان استفاده از ضرب داخلی، هوده استار و لاپلاسین را فراهم میآورد و پیوندی میان ساختارهای هندسی و معادلات فیزیکی برقرار میکند.