قضیه دنوآ دربارهٔ عدد چرخشی
در ریاضیات، قضیه دنوآ شرط کافی برای همارزی توپولوژیکی یک دیفئومورفیسم دایره با چرخش غیرجبری را ارائه میدهد. این قضیه توسط دنوآ در جریان طبقهبندی توپولوژیکی هومئومورفیسمهای دایره اثبات شد. او همچنین مثالی از دیفئومورفیسم C1 با عدد چرخشی غیرجبری ارائه کرد که با چرخش همارز نیست.
بيان قضيه
فرض کنید ƒ: S¹ → S¹ یک دیفئومورفیسم حفظکننده جهت دایره باشد که عدد چرخشی آن θ = ρ(ƒ) غیرجبری است. همچنین فرض کنید مشتق آن، ƒ'(x)، مثبت و تابعی با تغییرات محدود در بازه [0,1) باشد. در این صورت، ƒ همارز توپولوژیکی با چرخش غیرجبری با عدد θ است. علاوه بر این، هر مدار در این سیستم چگال است و هر بازه غیربدیهی I از دایره با تصویر آینده خود ƒⁿ(I) برای برخی n > 0 اشتراک دارد.
تکمیلها
اگر ƒ یک نگاشت C² باشد، شرط مربوط به مشتق برقرار است. با این حال، دنوآ مثالی ساخت که نشان میدهد این شرط نمیتواند به C¹ کاهش یابد. ولادیمیر آرنولد نشان داد که نگاشت همارز لزوماً صاف نیست، حتی برای دیفئومورفیسمهای تحلیلی دایره. میشل هرمن ثابت کرد که با وجود این، برای «بیشتر» اعداد چرخشی، نگاشت همارز خود تحلیلی است.
منابع
- کورنفلد، سینایی، فومین، نظریه ارگودیک.