معیار م-ویرشتراس
در ریاضیات، معیار م-ویرشتراس روشی برای تعیین همگرایی یکنواخت و مطلق سریهای نامتناهی از توابع است. این معیار برای توابعی به کار میرود که مقادیر حقیقی یا مختلط دارند و محدود هستند. معیار م-ویرشتراس مشابه آزمون مقایسهای برای بررسی همگرایی سریهای عددی عمل میکند و به نام کارل ویرشتراس، ریاضیدان آلمانی، نامگذاری شده است.
فرض کنید (fn) توالیای از توابع با مقادیر حقیقی یا مختلط باشد که روی مجموعه A تعریف شدهاند. همچنین (Mn) توالیای از اعداد غیرمنفی باشد که شرایط زیر را برآورده میکند:
- برای همه n و همه عناصر مجموعه A، |fn(x)| ≤ Mn است.
- سری ΣMn همگرا است.
در این صورت، سری Σfn به طور مطلق و یکنواخت روی A همگرا است.
این نتیجه اغلب با قضیه حد یکنواخت ترکیب میشود. اگر مجموعه A یک فضای توپولوژیکی باشد و توابع fn روی A پیوسته باشند، آنگاه سری به یک تابع پیوسته همگرا میشود.
اثبات
برای اثبات، توالی توابع Sn(x) = Σfn(x) را در نظر بگیرید. از آنجا که سری ΣMn همگرا است و |fn(x)| ≤ Mn، به ازای هر ε > 0، عدد طبیعی N وجود دارد که برای n > m ≥ N:
|Sn(x) - Sm(x)| ≤ ΣMn ≤ ε
این نشان میدهد که توالی Sn(x) یک توالی کوشی است و به تابعی به نام S(x) همگرا میشود. بنابراین، سری Σfn به طور یکنواخت به S(x) همگرا میشود.
تعمیم
معیار م-ویرشتراس در فضاهای باناخ نیز قابل تعمیم است. در این حالت، شرط |fn(x)| ≤ Mn با ||fn|| ≤ Mn جایگزین میشود، که در آن || || هنج فضای باناخ است.