نابرابری‌های چبیشف-مارکوف-استیلتjes

مقدمه

در تحلیل ریاضی، نابرابری‌های چبیشف-مارکوف-استیلتjes به مسئله گشتاورها مربوط می‌شوند. پافنوتی چبیشف این نابرابری‌ها را در دهه ۱۸۸۰ میلادی مطرح کرد و آندری مارکوف و (مدتی بعد) توماس یان استیلتjes، هر یک به‌طور مستقل آن‌ها را اثبات نمودند. به زبان ساده، این نابرابری‌ها کران‌های دقیقی را از بالا و پایین برای یک اندازه، بر حسب گشتاورهای اولیه آن ارائه می‌دهند.

صورت‌بندی مسئله

فرض کنید m₀,...,m_2m-1 اعداد حقیقی هستند. مجموعه C را شامل اندازه‌های μ روی اعداد حقیقی در نظر بگیرید به‌گونه‌ای که برای مقادیر k = 0,1,...,2m − 1 رابطه زیر برقرار باشد (و به‌ویژه انتگرال تعریف‌شده و متناهی باشد):

∫ x^k dμ(x) = m_k

فرض کنید P₀, P₁, ..., P_m نخستین m + 1 چندجمله‌ای متعامد نسبت به اندازه μ ∈ C باشند و ξ₁,...,ξ_m ریشه‌های چندجمله‌ای P_m باشند. به‌راحتی می‌توان نشان داد که چندجمله‌ای‌های P₀, P₁, ..., P_m-1 و اعداد ξ₁,...,ξ_m برای هر اندازه μ ∈ C یکسان هستند؛ در نتیجه، این مقادیر به‌طور یکتا توسط m₀,...,m_2m-1 مشخص می‌شوند.

حالا نماد زیر را تعریف می‌کنیم:

ρ_j(x) = ∑_k=0^m-1 P_k(x)² / P_k(ξ_j)²

قضیه

برای مقادیر j = 1,2,...,m و هر اندازه μ ∈ C، رابطه زیر برقرار است:

ρ_j-1(x) ≤ ∫_-∞^x dμ(t) ≤ ρ_j(x)

منابع

• قضیه‌ها در تحلیل ریاضی
• نابرابری‌ها