توزیع لگاریتمی-تی چیست؟
در نظریه احتمال، توزیع لگاریتمی-تی (Log-t) یا توزیع لگاریتمی-استیودنت، به توزیع احتمال متغیر تصادفیای گفته میشود که لگاریتم آن از توزیع تی-استیودنت پیروی میکند. اگر X یک متغیر تصادفی با توزیع تی-استیودنت باشد، آنگاه Y = exp(X) دارای توزیع لگاریتمی-تی خواهد بود. به همین ترتیب، اگر Y این توزیع را داشته باشد، لگاریتم آن یعنی X = log(Y) از توزیع تی-استیودنت برخوردار است.
ویژگیها و تابع چگالی
تابع چگالی احتمال این توزیع به شکل زیر تعریف میشود:
در این فرمول، μ پارامتر مکان، σ پارامتر مقیاس و ν درجات آزادی توزیع تی-استیودنتِ زیربنایی را نشان میدهند. اگر μ=0 و σ=1 باشد، توزیع زیربنایی به حالت استاندارد تی-استیودنت تبدیل میشود.
نکته قابلتوجه این است که اگر ν=1 باشد، این توزیع به توزیع لگاریتمی-کوشی (Log-Cauchy) تقلیل مییابد. همچنین با بینهایت شدن درجات آزادی (ν→∞)، این توزیع به سمت توزیع لگاریتمی-نرمال (Log-normal) میل میکند. با وجود اینکه توزیع لگاریتمی-نرمال دارای گشتاورهای محدود است، اما در توزیع لگاریتمی-تی برای هر درجه آزادی محدودی، میانگین، واریانس و تمامی گشتاورهای مرتبه بالاتر بینهایت هستند یا اصلاً وجود ندارند.
توزیع لگاریتمی-تی حالت خاصی از توزیع بتای تعمیمیافته از نوع دوم است. این توزیع نمونهای از توزیعهای احتمال مرکب میان توزیع لگاریتمی-نرمال و توزیع گامای معکوس است؛ به این معنا که پارامتر واریانس در توزیع لگاریتمی-نرمال، خود متغیری تصادفی با توزیع گامای معکوس فرض میشود.
کاربردهای توزیع لگاریتمی-تی
این توزیع کاربردهای مهمی در حوزه مالی دارد. به عنوان مثال، بازده بازار سهام اغلب دمهای پهنتری نسبت به توزیع نرمال نشان میدهد و در نتیجه تطابق بهتری با توزیع تی-استیودنت دارد. در حالی که مدل بلک-شولز (مبتنی بر توزیع لگاریتمی-نرمال) معمولاً برای قیمتگذاری اختیار معامله سهام به کار میرود، اگر بازدهها دمهای پهن داشته باشند، فرمولهای قیمتگذاری مبتنی بر توزیع لگاریتمی-تی جایگزین بهتری خواهند بود.
بینهایت بودن میانگین در این توزیع هنگام ارزشگذاری اختیار معامله به یک چالش تبدیل میشود، اما روشهایی برای عبور از این محدودیت وجود دارد؛ مثلاً میتوان تابع چگالی احتمال را در یک مقدار بزرگ دلخواه برید.
علاوه بر مالی، توزیع لگاریتمی-تی در هیدرولوژی و تحلیل دادههای مربوط به بهبود سرطان نیز کاربرد دارد.
شکل چندمتغیره توزیع
مشابه توزیع لگاریتمی-نرمال، فرمهای چندمتغیرهای از توزیع لگاریتمی-تی نیز وجود دارند. در این حالت، پارامتر مکان به یک بردار (μ) و پارامتر مقیاس به یک ماتریس (Σ) تبدیل میشود.