در هندسه، قضیه والاس-بولیایی-گرویِن، که به نام ویلیام والاس، فارکاس بولیایی و پ. گرویِن نامگذاری شده، به برش چندضلعیها مرتبط است. این قضیه پاسخ میدهد که چه زمانی یک چندضلعی را میتوان از دیگری با برش به قطعات محدود و بازچینی آنها با جابجایی و چرخش تشکیل داد.
بر اساس این قضیه، این کار تنها زمانی ممکن است که دو چندضلعی مساحت برابر داشته باشند. والاس این نتیجه را در سال ۱۸۰۷ اثبات کرد، در حالی که بولیایی و گرویِن به طور مستقل در سالهای ۱۸۳۳ و ۱۸۳۵ آن را اثبات کردند.
فرمولهسازی
این قضیه به روشهای مختلفی فرموله شده است. رایجترین نسخه از مفهوم «همتجزیهپذیری» چندضلعیها استفاده میکند: دو چندضلعی همتجزیهپذیر هستند اگر بتوان آنها را به مثلثهایی تقسیم کرد که تنها با جابجایی و چرخش از یکدیگر متفاوت باشند. در این حالت، قضیه بیان میکند که دو چندضلعی همتجزیهپذیر هستند اگر و تنها اگر مساحت برابر داشته باشند.
فرمولهسازی دیگر بر اساس «همارزی قیچی» است: دو چندضلعی همارز قیچی هستند اگر بتوان آنها را به چندضلعیهای محدود تقسیم کرد که جفتجفت همنهشت باشند. در این حالت، قضیه بیان میکند که کلاسهای همارزی این رابطه دقیقاً شامل چندضلعیهایی با مساحت برابر هستند.
اسکچ اثبات
اثبات این قضیه در چند گام انجام میشود. ابتدا، هر چندضلعی را میتوان به مثلثها تقسیم کرد. برای چندضلعیهای محدب، این کار با برش هر رأس به نوبت انجام میشود، در حالی که برای چندضلعیهای مقعر نیاز به دقت بیشتری است. یک روش عمومی برای چندضلعیهای غیرساده نیز وجود دارد.
سپس، هر مثلث را میتوان به یک مثلث قائمالزاویه و در نهایت به یک مستطیل با عرض ۱ تبدیل کرد. با انجام این کار برای هر مثلث، چندضلعی به یک مستطیل با عرض واحد و ارتفاع برابر مساحت آن تجزیه میشود.
از آنجا که این کار برای هر دو چندضلعی امکانپذیر است، یک «تقسیم مشترک» بین مستطیلها قضیه را اثبات میکند.