قضیه استوارت: رابطه‌ای میان اضلاع و برآمد یک مثلث

قضیه استوارت

قضیه استوارت در هندسه، رابطه‌ای میان طول اضلاع و برآمد در یک مثلث برقرار می‌کند. این قضیه به افتخار متیو استوارت، ریاضی‌دان اسکاتلندی، نام‌گذاری شده که آن را در سال ۱۷۴۶ میلادی منتشر کرد.

فرض کنید a, b, و c طول اضلاع یک مثلث باشند و d طول برآمد به ضلع a باشد. اگر برآمد ضلع a را به دو بخش m و n تقسیم کند، به طوری که m مجاور ضلع b و n مجاور ضلع c باشد، آنگاه قضیه استوارت بیان می‌کند:

b²m + c²n = a(d² + mn)

در حالت خاص که برآمد میانگین باشد، این قضیه به قضیه آپولونیوس تبدیل می‌شود.

اثبات قضیه

قضیه استوارت را می‌توان با استفاده از قانون کسینوس‌ها یا قضیه فیثاغورث اثبات کرد. در روش اول، با اعمال قانون کسینوس‌ها در مثلث‌های کوچک تشکیل‌شده، رابطه مورد نظر به دست می‌آید. در روش دوم، با کشیدن عمود از رأس مثلث به پایه و استفاده از قضیه فیثاغورث، دو طرف معادله به یک عبارت واحد کاهش می‌یابند.

تاریخچه

بر اساس منابع، استوارت این نتیجه را در سال ۱۷۴۶ میلادی زمانی که نامزد جایگزینی کولین مک‌لورین به عنوان استاد ریاضیات در دانشگاه ادینبرو بود، منتشر کرد. برخی منابع معتقدند این نتیجه احتمالاً توسط ارشمیدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد شناخته شده بود.