مقدمه
در نسبیت عام ریاضی، نامساوی پنروز که نخستین بار توسط سر راجر پنروز حدس زده شد، جرم یک فضا-زمان را بر اساس مساحت کل سیاهچالههای آن برآورد میکند و تعمیمی از قضیه جرم مثبت است. نامساوی پنروز ریمانی یک مورد خاص مهم است. به طور خاص، اگر (M, g) یک تنوع سهبعدی ریمانی نزدیک به مسطح در بینهایت با انحنای اسکالر غیرمنفی و جرم ADM m باشد و A مساحت بیرونیترین سطح مینیمال (ممکن است چندین قطعه متصل داشته باشد) باشد، آنگاه نامساوی پنروز ریمانی ادعا میکند:
m ≥ √(A / (16π))
این یک حقیقت کاملاً هندسی است و با مورد یک زیرتنه سهبعدی کامل، فضا-زمانی و کاملاً ژئودزیک از یک فضا-زمان (۳+۱)بعدی معادل است. چنین زیرتنهای اغلب مجموعه داده اولیه با تقارن زمانی برای یک فضا-زمان نامیده میشود. شرط داشتن انحنای اسکالر غیرمنفی برای (M, g) معادل با رعایت شرط انرژی مسلط در فضا-زمان است.
تاریخچه اثبات
این نامساوی نخستین بار توسط گرید هویسکن و توم ایلمنن در ۱۹۹۷ در حالتی که A مساحت بزرگترین قطعه از بیرونیترین سطح مینیمال است، اثبات شد. اثبات آنها متکی به ماشینآلات جریان معکوس میانگین انحنایی با تعریف ضعیف بود که خودشان توسعه داده بودند. در ۱۹۹۹، هوبارت برای اولین بار اثبات کامل نامساوی فوق را با استفاده از جریان همآوایی معیارها ارائه داد. هر دو مقاله در ۲۰۰۱ منتشر شدند.
انگیزه فیزیکی
استدلال فیزیکی اصلی که پنروز را به حدس زدن چنین نامساوایی واداشت، از قضیه مساحت هوکینگ و فرضیه سانسورشپ کاسمی استفاده میکرد.
حالت برابری
هر دو اثبات برای و هویسکن-ایلمنن برای نامساوی پنروز ریمانی بیان میکنند که تحت فرضیات، اگر
m = √(A / (16π))
باشد، تنوع مورد نظر از نظر فاصلهای با برشی از فضا-زمان اسکوارزلدر خارج از بیرونیترین سطح مینیمال آن، که یک کره با شعاع اسکوارزلدر است، همآوایی دارد.
حدس پنروز
به طور کلیتر، پنروز حدس زد که نامساوایی مشابه بالا باید برای زیرتنههای فضا-زمانی که لزوماً تقارن زمانی ندارند، برقرار باشد. در این حالت، انحنای اسکالر غیرمنفی با شرط انرژی مسلط جایگزین میشود و یک امکان، جایگزینی شرط سطح مینیمال با شرط افق ظاهری است. اثبات چنین نامساوایی همچنان یک مسئله باز در نسبیت عام، به نام حدس پنروز، باقی مانده است.
در فرهنگ عامه
در قسمت ۶ فصل ۸ سریال کمدیتلفزیونی The Big Bang Theory، دکتر شلدون کوپر ادعا میکند که در حال حل حدس پنروز است و همزمان سخنرانی پذیرش جایزه نوبل خود را مینویسد.