مکمل در نظریه گروهها
در ریاضیات، به ویژه در شاخه جبر موسوم به نظریه گروهها، مکمل یک زیرگروه H در گروه G، زیرگروه K است که هر عنصر G را به صورت یکتای hk (با h از H و k از K) بیان میکند. این رابطه متقارن است؛ یعنی اگر K مکمل H باشد، H نیز مکمل K است. الزامی نیست که H یا K زیرگروه نرمال G باشند.
ویژگیهای مکمل
- مکملها الزاماً وجود ندارند و در صورت وجود، لزوماً یکتا نیستند.
- اگر مکملهای یک زیرگروه نرمال متعدد باشند، همریخت با یکدیگر و با گروه خارجقسمتی هستند.
- مکمل K، مجموعهای از نمایندگان کامل برای کلاسهای چپ و راست زیرگروه H است.
- قضیه شور-زاسنهوس وجود مکملها را برای زیرگروههای هال نرمال در گروههای متناهی تضمین میکند.
ارتباط با سایر حاصلضربها
مکملها تعمیمدهنده حاصلضرب مستقیم (با زیرگروههای نرمال) و حاصلضرب شبهمستقیم هستند. حاصلضرب مرتبط با مکمل عمومی، حاصلضرب داخلی زاپا-سزپ نام دارد.
وجود مکملها
مکمل p، مکملی برای زیرگروه سیلو p است. قضایای فروبنיוס و تامپسون شرایط وجود مکمل نرمال p را مشخص میکنند. فیلیپ هال گروههای محلول متناهی را به عنوان گروههایی با مکمل p برای هر عدد اول p تعریف کرد که در تشکیل سیستم سیلو کاربرد دارند.