دامنه شرایر: درک یک مفهوم در جبر مجرد

دامنه شرایر در جبر مجرد

در حوزه جبر مجرد، دامنه شرایر (Schreier domain) که به نام اتو شرایر نام‌گذاری شده است، نوعی حوزه صحیح بسته (integrally closed domain) است. ویژگی بارز این دامنه‌ها این است که هر عنصر غیرصفر در آن‌ها، اولی (primal) است. به عبارت دیگر، اگر عنصری مانند x، حاصل‌ضرب دو عنصر y و z را تقسیم کند (x | yz)، آنگاه می‌توان x را به صورت حاصل‌ضرب دو عامل x1 و x2 نوشت (x = x1 * x2) به طوری که x1 عنصر y را تقسیم کند (x1 | y) و x2 عنصر z را تقسیم کند (x2 | z).

یک حوزه صحیح (integral domain) پیش‌شرایر (pre-Schreier) نامیده می‌شود اگر هر عنصر غیرصفر آن اولی باشد. حوزه GCD (GCD domain) که در آن هر دو عنصر دارای بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک هستند، نمونه‌ای از دامنه شرایر است.

اصطلاح "دامنه شرایر" در دهه 1960 توسط پی. ام. کوهن (P. M. Cohn) معرفی شد. اصطلاح "دامنه پیش‌شرایر" نیز توسط محمد ظفرالله (Muhammad Zafrullah) ابداع گردید.

به طور کلی، یک عنصر تحلیل‌ناپذیر (irreducible) زمانی اولی است که عنصر اول (prime) نیز باشد. در نتیجه، در یک دامنه شرایر، هر عنصر تحلیل‌ناپذیر، اول است. به طور خاص، یک دامنه شرایر اتمی (atomic) یک حوزه تجزیه یکتا (Unique Factorization Domain - UFD) است. این تعمیم این واقعیت است که یک حوزه GCD اتمی، یک UFD است.

ارجاعات:

• Cohn, P.M., Bezout rings and their subrings, 1968.
• Zafrullah, Muhammad, On a property of pre-Schreier domains, 1987.