گروه‌های تامپسون: چالش‌برانگیزترین گروه‌های ریاضی

در ریاضیات، گروه‌های تامپسون (که به گروه‌های تامپسون، گروه‌های ولگرد یا گروه‌های جنگجوی رنگ نیز معروفند) سه گروه هستند که توسط ریچارد تامپسون در سال ۱۹۶۵ در یادداشت‌های دست‌نویس منتشرنشده‌اش معرفی شدند. این گروه‌ها به عنوان نمونه‌های احتمالی نقض‌کننده حدس فون نویمان مطرح شدند. از میان این سه گروه، گروه F بیشترین توجه را به خود جلب کرده و گاهی به تنهایی به عنوان گروه تامپسون نام برده می‌شود.

گروه‌های تامپسون، به‌ویژه گروه F، دارای ویژگی‌های غیرمعمولی هستند که آنها را به نقض‌کننده بسیاری از حدس‌های کلی در نظریه گروه‌ها تبدیل کرده است. هر سه گروه نامتناهی اما با نمایش متناهی هستند. گروه‌های T و V از معدود نمونه‌های گروه‌های ساده نامتناهی با نمایش متناهی به شمار می‌روند. گروه F ساده نیست، اما زیرگروه مشتق‌شده آن ([F,F]) ساده است و ضرب خارجی F با زیرگروه مشتق‌شده‌اش، گروه آبلی آزاد مرتبه ۲ است.

نمایش گروه F

یک نمایش متناهی برای گروه F به صورت زیر است:

F = ⟨A, B ∣ [A, B^{-1}AB] = [A^{-1}BA, B] = 1⟩

با وجود اینکه F با ۲ مولد و ۲ رابطه نمایش داده می‌شود، توصیف زیر به صورت نامتناهی شهودی‌تر است:

F = ⟨x₀, x₁, x₂, ... ∣ xₙ⁻¹xₘxₙ = xₘ+₁ برای n > m ≥ 0⟩

این دو نمایش با روابط x₀ = A و xₙ = A¹⁻ⁿBAn-1 برای n > 0 به هم مرتبط هستند.

ارتباط با توپولوژی

گروه F به عنوان گروه خودریختی‌های حفظ‌کننده ترتیب جبر یونسون-تارسکی آزاد بر روی یک مولد نیز تعریف می‌شود. همچنین، این گروه به عنوان زیرگروهی از همئومورفیسم‌های تکه‌ای خطی بازه واحد که جهت را حفظ می‌کنند و نقاط غیرمشتق‌پذیرشان اعداد گویا دوگانه هستند، قابل تفسیر است.

گروه F همچنین بر روی دایره واحد با شناسایی دو انتهای بازه واحد عمل می‌کند. گروه T با افزودن همئومورفیسم x ↦ x + ۱/۲ mod ۱ به F به دست می‌آید. گروه V با افزودن نگاشت ناپیوسته‌ای که بازه‌های [۰, ۱/۲) و [۱/۲, ۳/۴) را جابه‌جا می‌کند، از T حاصل می‌شود.

قابل‌پذیرش بودن

حدس تامپسون مبنی بر غیرقابل‌پذیرش بودن گروه F توسط ر. جئوگان محبوبیت یافت. وضعیت فعلی این حدس هنوز باز است. ا. شاوگولیدزه در ۲۰۰۹ مدعی اثبات قابل‌پذیرش بودن F شد، اما خطایی در اثبات او یافت شد.

اگر F غیرقابل‌پذیرش باشد، نمونه دیگری از نقض حدس فون نویمان برای گروه‌های با نمایش متناهی خواهد بود. این حدس بیان می‌کند که یک گروه با نمایش متناهی قابل‌پذیرش است اگر و تنها اگر حاوی زیرگروهی هم‌ریخت با گروه آزاد مرتبه ۲ نباشد.