عدد بتی چیست؟

مقدمه

در توپولوژی جبری، اعداد بتی ابزارهایی برای تشخیص و مقایسه فضاهای توپولوژیک‌اند. این اعداد با نگاه به همبندی و حفره‌های ابعاد مختلف، ساختار یک فضا را به زبانی جبری خلاصه می‌کنند.

برای بسیاری از فضاهای متناهی‌بعد و خوش‌رفتار، مانند خمینه‌های فشرده، مجمّع‌های سادکی متناهی و مجمّع‌های CW، دنباله اعداد بتی از جایی به بعد صفر می‌شود. به بیان دیگر، عدد بتی در ابعاد بالاتر از بعد خود فضا ناپدید می‌شود و همه آن‌ها متناهی‌اند.

عدد بتی چه چیزی را می‌شمارد؟

عدد بتی nام، یعنی b_n، رتبه گروه هومولوژی nام را نشان می‌دهد؛ گروهی که معمولاً با H_n نمایش داده می‌شود. در زبان شهودی، این عدد به تعداد حفره‌های مستقل بعد n مربوط است؛ برای مثال 0-چرخه‌ها به مؤلفه‌های همبند، 1-چرخه‌ها به حلقه‌ها و 2-چرخه‌ها به حفره‌های حجمی نزدیک‌اند.

برای نمونه، یک نقطه فقط یک مؤلفه همبند دارد، پس b₀ = 1. دایره یک حفره یک‌بعدی دارد، پس b₁ = 1. کره دوبعدی یک حفره دوبعدی دارد، پس b₂ = 1. توروس دو حفره یک‌بعدی مستقل دارد، پس b₁ = 2.

نکته مهم این است که اعداد بتی فقط بخش آزاد گروه‌های هومولوژی را می‌شمارند. برای مثال، اگر H_n(X) = ℤ ⊕ ℤ₂ باشد، آنگاه b_n(X) = 1. در اینجا ℤ₂ گروه دوری متناهی مرتبه ۲ است و بخش متناهی آن، زیرگروه پیچشی نامیده می‌شود.

اصطلاح اعداد بتی را هانری پوانکاره به افتخار انریکو بتی رایج کرد، اما صورت‌بندی مدرن آن بیشتر وام‌دار امی نوتر است. امروزه اعداد بتی در هومولوژی سادکی، علوم رایانه، پردازش تصویر و تحلیل داده‌های توپولوژیک کاربرد گسترده دارند.

تفسیر هندسی اعداد بتی

به بیان ساده، عدد بتی kام تعداد حفره‌های kبعدی یک فضای توپولوژیک را نشان می‌دهد. منظور از حفره kبعدی، چرخه‌ای kبعدی است که مرز یک شیء یا زنجیره یک‌بعد بالاتر نباشد.

در مجمّع‌های سادکی تا بعد ۲، تعریف سه عدد بتی نخست چنین است:

• b₀ تعداد مؤلفه‌های همبند است.
• b₁ تعداد حفره‌های یک‌بعدی یا حلقه‌مانند است.
• b₂ تعداد حفره‌های دوبعدی، یعنی حفره‌های حجمی یا cavityهاست.

برای مثال، یک توروس یک مؤلفه همبند دارد، پس b₀ = 1. این سطح دو حفره حلقه‌مانند مستقل دارد: یکی در جهت استوایی و دیگری در جهت نصف‌النهار، بنابراین b₁ = 2. همچنین یک حفره حجمی درون سطح خود محصور می‌کند، پس b₂ = 1.

تعبیر دیگر این است که b_k در مثال‌های ساده، بیشترین تعداد برش‌ها یا حذف چرخه‌های مستقل kبعدی را نشان می‌دهد که بدون از بین رفتن همبندی کلی فضا می‌توان انجام داد. برای توروس، پس از حذف دو منحنی یک‌بعدی مستقل، همچنان می‌توان ساختار همبند را حفظ کرد؛ به همین دلیل b₁ = 2.

تصویر هندسی اعداد بتی در ابعاد ۰ تا ۳ برای ما ملموس‌تر است، چون جهان فیزیکی را در همین محدوده تجربه می‌کنیم. با این حال، تعریف جبری اعداد بتی برای ابعاد بالاتر نیز کاملاً معتبر است.

تعریف رسمی عدد بتی

برای عدد صحیح نامنفی k، عدد بتی kام فضای X با نماد b_k(X) به‌صورت رتبه گروه هومولوژی kام تعریف می‌شود:

b_k(X) = rank H_k(X)

گروه H_k(X) یک گروه آبلی است و رتبه آن برابر تعداد مولدهای مستقل خطی در بخش آزاد گروه محسوب می‌شود. اگر ∂_k نگاشت‌های مرزی مجمّع سادکی باشند، آنگاه:

H_k(X) = ker ∂_k / im ∂_k+1

بنابراین عدد بتی kام، رتبه همین گروه هومولوژی است. تعریف معادل این است که b_k(X) را بعد فضای برداری H_k(X; ℚ) روی میدان اعداد گویا بگیریم. قضیه ضریب جهانی نشان می‌دهد که در حالت‌های ساده و بدون پیچش، این دو تعریف با هم سازگارند.

به طور کلی‌تر، اگر F یک میدان باشد، می‌توان عدد بتی با ضرایب در F را این‌گونه تعریف کرد:

b_k(X, F) = dim_F H_k(X; F)

چندجمله‌ای پوانکاره

چندجمله‌ای پوانکاره یک فضا، تابع مولد اعداد بتی آن است. اگر b_k عدد بتی kام باشد، چندجمله‌ای پوانکاره چنین نوشته می‌شود:

P_X(t) = Σ b_kt^k

برای توروس، اعداد بتی برابر 1، 2 و 1 هستند؛ بنابراین چندجمله‌ای پوانکاره آن برابر است با:

P_T(t) = 1 + 2t + t² = (1 + t)²

همین تعریف برای هر فضای توپولوژیکی که همولوژی با تولید متناهی داشته باشد، معتبر است. در این حالت، ضریب t^k همان b_k است.

مثال‌ها

اعداد بتی یک گراف

فرض کنید G یک گراف توپولوژیک باشد. مجموعه رأس‌ها را V، مجموعه یال‌ها را E و مجموعه مؤلفه‌های همبند را C می‌نامیم. در هومولوژی گراف داریم:

• H₀(G) ≅ ℤ^|C|
• H₁(G) ≅ ℤ^{|E| - |V| + |C|}
• H_k(G) = 0 برای k > 1

این نتیجه را می‌توان با استقرای ریاضی روی تعداد یال‌ها ثابت کرد. افزودن یک یال جدید یا یک چرخه یک‌بعدی می‌سازد، یا تعداد مؤلفه‌های همبند را یکی کم می‌کند.

بنابراین عدد بتی صفرم برابر است با:

b₀(G) = |C|

و عدد بتی یکم برابر است با:

b₁(G) = |E| + |C| - |V|

عدد b₁(G) را عدد سیکلوماتیک یا عدد دوری نیز می‌نامند؛ اصطلاحی که پیش از مقاله بتی توسط گوستاو کیرشهف معرفی شده بود. همین مفهوم در مهندسی نرم‌افزار با عنوان پیچیدگی سیکلوماتیک نیز کاربرد دارد. همه اعداد بتی بالاتر از ۱ در یک گراف برابر صفرند.

اعداد بتی یک مجمّع سادکی

مجمّع سادکی را در نظر بگیرید که چهار 0-simplex با نام‌های a، b، c و d دارد. همچنین پنج 1-simplex با نام‌های E، F، G، H و I و تنها یک 2-simplex با نام J وجود دارد که ناحیه سایه‌زده شکل را می‌سازد.

در این شکل یک مؤلفه همبند وجود دارد، پس b₀ = 1. یک حفره در ناحیه سایه‌نزده دیده می‌شود، پس b₁ = 1. هیچ حفره حجمی یا cavity وجود ندارد، بنابراین b₂ = 0.

به عبارت جبری، رتبه H₀ برابر ۱، رتبه H₁ برابر ۱ و رتبه H₂ برابر ۰ است. دنباله اعداد بتی این شکل برابر است با:

1, 1, 0, 0, ...

و چندجمله‌ای پوانکاره آن برابر است با:

1 + t

اعداد بتی صفحه تصویری حقیقی

گروه‌های هومولوژی صفحه تصویری حقیقی P چنین‌اند:

• H₀(P) = ℤ
• H₁(P) = ℤ₂
• H_k(P) = 0 برای k ≥ 2

در اینجا ℤ₂ گروه دوری مرتبه ۲ است. عدد بتی صفرم دوباره برابر ۱ است، اما عدد بتی یکم برابر ۰ می‌شود؛ زیرا H₁(P) گروهی متناهی است و بخش آزاد نامتناهی ندارد. بخش متناهی گروه را ضریب پیچشی P می‌نامند.

اعداد بتی گویا، یعنی b_k(X)، هیچ پیچشی در گروه‌های هومولوژی را محاسبه نمی‌کنند، اما همچنان ناوردهای توپولوژیک پایه و بسیار مفیدی‌اند. در ساده‌ترین بیان، آن‌ها امکان شمارش حفره‌های ابعاد مختلف را فراهم می‌کنند.

ویژگی‌های مهم

مشخصه اویلر

برای یک مجمّع CW متناهی K، مشخصه اویلر با اعداد بتی به این صورت مرتبط است:

χ(K) = Σ (-1)^kb_k(K; F)

این رابطه برای هر میدان F برقرار است و χ نماد مشخصه اویلر K است.

ضرب دکارتی

برای هر دو فضای X و Y، چندجمله‌ای پوانکاره ضرب دکارتی آن‌ها برابر حاصل‌ضرب چندجمله‌ای‌های پوانکاره‌شان است:

P_X×Y(t) = P_X(t)P_Y(t)

در اینجا P_X(t) چندجمله‌ای پوانکاره X است. برای فضاهای بی‌نهایت‌بعد، همین نقش را سری هیلبرت-پوانکاره ایفا می‌کند. این رابطه با قضیه کونِت توضیح داده می‌شود.

تقارن

اگر X یک خمینه nبعدی بسته و جهت‌پذیر باشد، تقارنی میان اعداد بتی مکمل پدید می‌آید:

b_k(X) = b_n-k(X)

این نتیجه از دوگانگی پوانکاره به‌دست می‌آید و در مطالعه خمینه‌های بسته اهمیت زیادی دارد.

ضرایب متفاوت

وابستگی اعداد بتی به میدان F فقط از راه مشخصه آن میدان است. اگر گروه‌های هومولوژی بدون پیچش باشند، اعداد بتی به انتخاب میدان وابسته نیستند. ارتباط میان پیچش pتایی و عدد بتی در مشخصه p، که p عددی اول است، با جزئیات از طریق قضیه ضریب جهانی و ابزارهای Tor functors توضیح داده می‌شود.

مثال‌های بیشتر

• دنباله اعداد بتی برای یک دایره برابر است با 1, 1, 0, 0, 0, ... و چندجمله‌ای پوانکاره آن برابر 1 + t است.
• دنباله اعداد بتی برای توروس سه‌بعدی برابر است با 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... و چندجمله‌ای پوانکاره آن برابر 1 + 3t + 3t² + t³ است.
• برای توروس nبعدی، چندجمله‌ای پوانکاره برابر (1 + t)ⁿ است؛ بنابراین اعداد بتی همان ضرایب دوجمله‌ای‌اند.

برای فضاهایی که به‌طور اساسی بی‌نهایت‌بعد هستند، ممکن است دنباله‌ای نامتناهی از اعداد بتی ناصفر وجود داشته باشد. نمونه مهم آن فضای تصویری مختلط بی‌نهایت‌بعدی است که دنباله اعداد بتی آن برابر 1, 0, 1, 0, 1, ... است و دوره‌ای با طول ۲ دارد.

در این حالت، تابع پوانکاره دیگر چندجمله‌ای نیست، بلکه یک سری نامتناهی است:

1 + t² + t⁴ + ... = 1/(1 - t²)

چون این یک دنباله هندسی است، می‌توان آن را به‌صورت تابع گویا نوشت. به طور کلی، هر دنباله دوره‌ای را می‌توان به صورت مجموعی از دنباله‌های هندسی بیان کرد. همچنین دنباله‌های بازگشتی خطی دقیقاً همان دنباله‌هایی‌اند که با تابع‌های گویا تولید می‌شوند؛ بنابراین سری پوانکاره اگر و فقط اگر دنباله اعداد بتی بازگشتی خطی باشد، به‌صورت تابع گویا نوشته می‌شود.

برای گروه‌های لی ساده فشرده نیز چندجمله‌ای‌های پوانکاره در منابع پیشرفته فهرست می‌شوند و از ساختار ریشه‌ای و درجات مولدهای حلقه هومولوژی به‌دست می‌آیند.

ارتباط با فرم‌های دیفرانسیل

در موقعیت‌های هندسی، وقتی M یک خمینه بسته باشد، اهمیت اعداد بتی از زاویه‌ای دیگر نیز آشکار می‌شود: این اعداد بعد فضاهای برداری فرم‌های دیفرانسیل بسته، پیمانه‌ی فرم‌های دقیق، را پیش‌بینی می‌کنند.

پیوند این دیدگاه با تعریف هومولوژی از سه نتیجه بنیادی می‌آید: قضیه دِ رام، دوگانگی پوانکاره و قضیه ضریب جهانی در نظریه هومولوژی.

خوانش دیگر این است که اعداد بتی بعد فضاهای فرم‌های هارمونیک را نشان می‌دهند. این تعبیر به نتایج نظریه هاج درباره لاپلاسین هاج نیاز دارد.

در همین چارچوب، نظریه مورس مجموعه‌ای از نامساوی‌ها را برای مجموع‌های متناوب اعداد بتی ارائه می‌کند. اگر c_i تعداد نقاط بحرانی اندیس i یک تابع مورس باشد، برای k = 0 تا n داریم:

Σ_i=0^k (-1)^k-ib_i(M) ≤ Σ_i=0^k (-1)^k-ic_i

و در حالت نهایی، یعنی k = n، برابری برقرار است. ادوارد ویتن با استفاده از تابع مورس برای اصلاح مشتق بیرونی در مجمّع دِ رام، توضیحی عمیق برای این نامساوی‌ها ارائه کرد.

مطالعه بیشتر

• تحلیل داده‌های توپولوژیک
• ضریب پیچشی
• مشخصه اویلر
• توپولوژی جبری
• ناوردهای گراف
• نظریه گراف توپولوژیک
• تابع‌های مولد