ویژگی توزیعپذیری چیست؟
در ریاضیات، ویژگی توزیعپذیری اعمال دوتایی، تعمیمی از قانون توزیع است. این قانون در جبر مقدماتی بیان میکند که برابری a × (b + c) = (a × b) + (a × c) همواره برقرار است. برای مثال، در حساب مقدماتی میدانیم که ۲ × (۱ + ۳) برابر است با (۲ × ۱) + (۲ × ۳). بنابراین، میگوییم ضرب بر جمع توزیعپذیر است.
این ویژگی پایهای از اعداد، بخشی از تعریف بیشتر ساختارهای جبری است که دو عمل جمع و ضرب دارند؛ ساختارهایی مانند اعداد مختلط، چندجملهایها، ماتریسها، حلقهها و میدانها. این قانون در جبر بولی و منطق ریاضی نیز دیده میشود؛ جایی که هر یک از عملگرهای «و منطقی» و «یا منطقی» بر دیگری توزیعپذیر است.
تعریف توزیعپذیری
با توجه به مجموعهای مانند S و دو عملگر دوتایی ⋆ و ∗ روی آن، عملگر ⋆ نسبت به ∗ توزیعپذیر چپ است اگر برای هر عنصر a, b, c از S داشته باشیم: a ⋆ (b ∗ c) = (a ⋆ b) ∗ (a ⋆ c). همچنین ⋆ نسبت به ∗ توزیعپذیر راست است اگر: (b ∗ c) ⋆ a = (b ⋆ a) ∗ (c ⋆ a). اگر عملگر ⋆ هم توزیعپذیر چپ و هم توزیعپذیر راست باشد، به آن صرفاً توزیعپذیر میگوییم. هرگاه عملگر ∗ جابجاییپذیر باشد، این سه شرط از نظر منطقی معادل یکدیگرند.
معنای مفهومی توزیعپذیری
اگر عملگر ⋆ (مثلاً ضرب) جابجاییپذیر نباشد، بین توزیعپذیری چپ و راست تفاوت وجود دارد. در هر دو حالت، ویژگی توزیعپذیری را میتوان اینگونه بیان کرد:
برای ضرب یک مجموع (یا تفریق) در یک عامل، هر جمعشونده (یا کاهشیافته و کاهنده) باید در آن عامل ضرب شود و سپس حاصلضربها با هم جمع (یا تفریق) شوند.اگر عملگر بیرون از پرانتز (در اینجا ضرب) جابجاییپذیر باشد، توزیعپذیری چپ مستلزم توزیعپذیری راست است و برعکس.
یکی از مثالهای عملیاتی که «فقطی» توزیعپذیر راست است، تقسیم است که جابجاییپذیر نیست. در این حالت، توزیعپذیری چپ برقرار نیست. قوانین توزیع در میان اصول موضوعه حلقهها (مانند حلقه اعداد صحیح) و میدانها (مانند میدان اعداد گویا) قرار دارند. در اینجا ضرب بر جمع توزیعپذیر است، اما جمع بر ضرب توزیعپذیر نیست. ساختارهایی که هر دو عمل آنها بر یکدیگر توزیعپذیرند، مانند جبرهای بولی هستند.
مثالهای کاربردی
اعداد حقیقی
در مجموعه اعداد حقیقی، قانون توزیع کاملاً برقرار است. از دیدگاه جبر، اعداد حقیقی یک میدان تشکیل میدهند که اعتبار قانون توزیع را تضمین میکند.
ماتریسها
قانون توزیع برای ضرب ماتریسها معتبر است. از آنجا که خاصیت جابجاییپذیری در ضرب ماتریسها برقرار نیست، قانون توزیع چپ و راست دو قانون متمایز هستند.
سایر مثالها
- ضرب اعداد ترتیبی، برخلاف ضرب معمولی، فقط توزیعپذیر چپ است و توزیعپذیر راست نیست.
- حاصلضرب برداری، بر جمع برداری توزیعپذیر چپ و راست است، هرچند جابجاییپذیر نیست.
- اجتماع مجموعهها بر اشتراک توزیعپذیر است و اشتراک نیز بر اجتماع توزیعپذیر است.
- فصل منطقی («یا») بر عطف منطقی («و») توزیعپذیر است و بالعکس.
- برای اعداد حقیقی، عملگر بیشینه بر کمینه توزیعپذیر است و بالعکس.
- برای اعداد صحیح، بزرگترین مقسومعلیه مشترک (ب.م.م) بر کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م) توزیعپذیر است و بالعکس.
- در ضرب دو جملهایها، توزیعپذیری گاهی به عنوان روش FOIL (جملههای اول، بیرونی، درونی و آخر) شناخته میشود.
- در تمام نیمحلقهها (از جمله اعداد مختلط، کواترنیونها، چندجملهایها و ماتریسها)، ضرب بر جمع توزیعپذیر است.
منطق گزارهای
در منطق گزارهای، از قوانین توزیع به عنوان قوانین جایگزینی معتبر برای بسط اتصالهای منطقی استفاده میشود. این قوانین نشان میدهند که توزیعپذیری یک ویژگی ذاتی برای اتصالهای خاص است و توتولوژیهای تابعی-صدق محسوب میشوند. همچنین پدیده توزیعپذیری مضاعف نیز در برخی ساختارها وجود دارد.
توزیعپذیری و گرد کردن
در محاسبات تقریبی مانند حساب نقطهشناور، ویژگی توزیعپذیری ضرب بر جمع ممکن است به دلیل محدودیتهای دقت محاسباتی با شکست مواجه شود. حتی با استفاده از روشهایی مانند گرد کردن بانکی یا افزایش دقت، در نهایت برخی خطاهای محاسباتی غیرقابل اجتناب هستند.
در حلقهها و سایر ساختارها
توزیعپذیری بیشتر در نیمحلقهها، بهویژه حلقهها و شبکههای توزیعی یافت میشود. یک حلقه، در واقع یک نیمحلقه با وارونهای جمعی است. شبکه (Lattice) ساختار جبری دیگری است که اگر یکی از دو عملگر آن بر دیگری توزیعپذیر باشد، عملکرد معکوس نیز صادق است و به آن شبکه توزیعی میگویند. جبر بولی میتواند به عنوان یک نوع خاص از حلقه (حلقه بولی) یا شبکه توزیعی (شبکه بولی) تفسیر شود.
ساختارهای مشابهی که قوانین توزیع ندارند، «نزدحلقهها» و «نزدمیدانها» نامیده میشوند. در این ساختارها، اعمال معمولاً فقط در سمت راست توزیعپذیرند.
تعمیمها
در چندین حوزه ریاضی، قوانین توزیعپذیری تعمیمیافته مورد بررسی قرار میگیرند. این تعمیمها ممکن است شامل تضعیف شروط بالا یا بسط به اعمال نامتناهی باشند. در نظریه رستهها، قانون توزیعپذیری به عنوان یک تبدیل طبیعی تعریف میشود. همچنین در نظریه اطلاعات، یک قانون توزیعپذیری تعمیمیافته پیشنهاد شده است.
پادتوزیعپذیری (Antidistributivity)
در مطالعه منطق گزارهای و جبر بولی، اصطلاح قانون پادتوزیعپذیری گاهی برای نشان دادن تبادل بین عطف و فصل هنگامی که استلزام بر آنها اثر میگذارد استفاده میشود. این دو توتولوژی، نتیجه مستقیم دوگانگی در قوانین دمورگان هستند. همچنین در نزدحلقهها، عناصری وجود دارند که ترتیب جمع را برعکس میکنند که به آنها عناصر پادتوزیعپذیر میگویند.