قضیه فرنیک: تئوری اندازههای گاوسی در فضاهای باناخ
قضیه فرنیک، که در سال ۱۹۷۰ توسط زاویر فرنیک اثبات شد، به بررسی رفتار اندازههای گاوسی در فضاهای باناخ میپردازد. این قضیه نشان میدهد که متغیرهای تصادفی گاوسی در این فضاها دارای دمهای نمایی هستند، مشابه رفتار آنها در فضاهای محدودبعدی.
فرض کنید (X, || ||) یک فضای باناخ جداشدنی است و μ یک اندازه گاوسی متمرکز بر روی X باشد. این بدان معناست که برای هر تابع خطی محدود ℓ: X → R، اندازه پیشران ℓ∗μ یک توزیع گاوسی با میانگین صفر است.
قضیه فرنیک بیان میکند که وجود ثابت α > 0 تضمین میشود که:
∫X exp(α||x||²) dμ(x) < ∞این نتیجه به نوبه خود وجود ممانهای همه مراتب را برای اندازه گاوسی μ تضمین میکند:
∫X ||x||^k dμ(x) < ∞ برای هر k ≥ 0