مقدمه
در توپولوژی عمومی و نظریه اعداد، شاخههای مختلفی از ریاضیات وجود دارد که میتوان بر روی مجموعه اعداد صحیح یا اعداد صحیح مثبت توپولوژیهایی تعریف کرد. با انتخاب مجموعهای مناسبی از پیشروندههای حسابی به عنوان پایه، بازهای فضای مورد نظر به شکل اتحاد این پیشروندهها به دست میآیند.
سه نمونه اصلی
سه نمونه مشهور عبارتاند از توپولوژی فورستنبرگ بر روی Z، توپولوژی گولُم بر روی N و توپولوژی کیرچ بر روی N. تعاریف دقیق در ادامه آمدهاند.
ساختار پایه
دو طرفه پیشروندههای حسابی در Z مجموعههایی هستند به صورت a + n d با a و d اعداد صحیح و d ≠ 0. تقاطع دو پیشرونده از همین نوع یا خالی است، یا پیشروندهای دیگر از همان شکل است.
با انتخاب مجموعهای از پیشروندهها به عنوان مجموعه پایه، توپولوژی روی Z یا N تعریف میشود و بازها به طور گسترده از این پیشروندهها ساخته میشوند.
توپولوژیهای خاص
توپولوژی فورستنبرگ روی Z با پایهای از تمامی پیشروندههای حسابی با d ≠ 0 تعریف میشود.
توپولوژی گولُمب روی N با پایههای مجموعههای از شکل {a + b k : k ∈ N} و شرط gcd(a,b) = 1 تعریف میشود و فضای گولُم به همین نام شناخته میشود.
توپولوژی کیرچ روی N با پایهای از مجموعههای دارای نسبتهای اولیه تعریف میشود و فضای کیرچ نامیده میشود.
خواص و روابط
این سه توپولوژی همگی هاسدورف هستند؛ اما از نظر منظم بودن تفاوت دارند. فورستنبرگ منظم و هاسدورف است و گولُمب و کیرچ هاسدورف ولی معمولاً منظم نیستند. همچنین فورستنبرگ متریپذیر است اما کامل متریپذیر نیست.
جمعبندی
در کل، توپولوژیهای مبتنی بر پیشروندههای عددی چارچوبی جالب برای بررسی ساختارهای گسسته ارائه میدهند و قابلیت تعمیم به حوزههای دیگر مانند دامنههای دوگانه را دارند.