مقدمه
در ریاضیات، تابع انتگرال لگاریتمی یا لگاریتم انتگرالی li(x) یک تابع خاص است. این تابع در مسائل فیزیکی کاربرد دارد و از نظر نظریه اعداد اهمیت بسزایی به خود میبیند. بهویژه بر اساس قضیه اعداد اول، این تابع تقریب بسیار خوبی برای تابع شمارش اعداد اول محسوب میشود؛ تابعی که تعداد اعداد اول کوچکتر یا مساوی یک مقدار مشخص را شمارش میکند.
نمایش انتگرالی
نمایش انتگرالی تابع لگاریتمی برای تمام اعداد حقیقی مثبت x ≠ 1 بهصورت انتگرال معین زیر تعریف میشود:
li(x) = ∫₀ˣ dt/ln(t)
در اینجا ln نشاندهنده لگاریتم طبیعی است. تابع li(x) در نقطه x = 1 تکینه دارد و انتگرال برای x > 1 بهعنوان مقدار اصلی کوشی تفسیر میشود.
انتگرال لگاریتمی افستدار
انتگرال لگاریتمی افستدار یا لگاریتم انتگرالی اویلری بهصورت زیر تعریف میشود:
Li(x) = li(x) - li(2)
به این ترتیب، مزیت نمایش انتگرالی افستدار این است که از تکینه در بازه انتگرالگیری اجتناب میکند. بهطور معادل میتوان آن را چنین نوشت:
Li(x) = ∫₂ˣ dt/ln(t)
مقادیر خاص
تابع li(x) تنها یک صفر مثبت دارد که در نقطه زیر رخ میدهد:
x ≈ 1.4513692348833810502839684858920274494930...
این عدد به ثابت رامانوجان-زولدنر معروف است. همچنین داریم:
li(Li⁻¹(0)) = li(2) ≈ 1.045163780117492784844588889194613136522615578151...
در اینجا تابع گامای ناقص به کار میرود و باید آن را بهعنوان مقدار اصلی کوشی تابع در نظر گرفت.
نمایش سری
تابع li(x) از طریق معادله زیر با انتگرال نمایی Ei(x) مرتبط است:
li(x) = Ei(ln x)
این رابطه برای x > 0 برقرار است و نمایش سریی از li(x) را بهشکل زیر ارائه میدهد:
li(x) = γ + ln(ln x) + Σ (ln x)ᵏ / (k! k)
که در آن γ ≈ 0.5772156649 ثابت اویلر-ماسکرونی است. رامانوجن سری همگراتری را نیز ارائه داده است.
توسعه مجانبی
رفتار مجانبی تابع برای مقادیر بزرگ x بهصورت زیر است:
li(x) = x/ln x + O(x/ln²x)
توسعه مجانبی کاملتر به شکل زیر میباشد:
li(x) ~ x/ln x * Σ k!/(ln x)ᵏ
از آنجا که این یک توسعه مجانبی است، سری همگرا نیست و تنها در صورت قطع کردن سری در تعداد محدودی از جملات و برای مقادیر بزرگ x، تقریب معقولی ارائه میدهد. این توسعه مستقیماً از توسعه مجانبی انتگرال نمایی حاصل میشود.
اهمیت در نظریه اعداد
انتگرال لگاریتمی در نظریه اعداد نقشی کلیدی دارد و در تخمین تعداد اعداد اول کوچکتر از یک مقدار مشخص ظاهر میشود. برای نمونه، قضیه اعداد اول بیان میکند:
π(x) ~ li(x)
که در آن π(x) نشاندهنده تعداد اعداد اول کوچکتر یا مساوی x است.
با فرض درستی فرضیه ریمان، تقریب بسیار قدرتمندتری به دست میآید:
π(x) = li(x) + O(√x ln x)
در واقع، فرضیه ریمان معادل این گزاره است که:
|π(x) - li(x)| < √x ln x / (8π)
برای مقادیر کوچک x، li(x) > π(x) است، اما با افزایش x، اختلاف این دو بینهایت بار علامت خود را تغییر میدهد و اولین بار این اتفاق در بازه 10¹⁹ تا 1.4×10³¹⁶ رخ میدهد.