معرفی اعداد استونهام
در ریاضیات، اعداد استونهام دستهای از اعداد حقیقیاند که نام خود را از ریاضیدان ریچارد جی. استونهام (۱۹۲۰–۱۹۹۶) گرفتهاند. این اعداد در مرز میان نظریه اعداد، نمایش اعداد در مبناهای مختلف و مفهوم اعداد نرمال قرار میگیرند.
تعریف ریاضی
برای دو عدد صحیح b و c بزرگتر از ۱ که نسبت به هم اول باشند، عدد استونهام αb,c با یک مجموع نامتناهی تعریف میشود:
αb,c = Σn=1∞ 1 / (cn b^(cn))به بیان سادهتر، هر جملهٔ این سری بسیار کوچک میشود و رفتار کلی عدد حاصل از الگوی توانهای c و b شکل میگیرد.
نرمال بودن در مبنای b
مفهوم b-نرمال بودن به این معناست که ارقام عدد در مبنای b، در بلندمدت توزیعی یکنواخت داشته باشند؛ گویی دنبالهٔ ارقام آن تصادفی به نظر برسد.
استونهام در سال ۱۹۷۳ نشان داد که اگر c عددی اول و فرد باشد و b ریشهٔ اولیه به پیمانه c2 باشد، آنگاه αb,c در مبنای b نرمال است.
نتیجهٔ بیلی و کراندال
در سال ۲۰۰۲، دیوید بیلی و ریچارد کراندال نتیجهٔ مهمتری ارائه کردند: برای تعریف اعداد استونهام، همین که b و c بزرگتر از ۱ و نسبت به هم اول باشند، برای b-نرمال بودن αb,c کافی است.
چرا اعداد استونهام اهمیت دارند؟
اهمیت این اعداد در آن است که از یک تعریف نسبتاً ساده، نمونههایی از اعداد نرمال میسازند؛ موضوعی که در نظریه اعداد، تحلیل ارقام و تولید الگوهای شبهتصادفی کاربرد دارد.