فرمول فروبنיוס

در ریاضیات، به ویژه در نظریه نمایش‌ها، فرمول فروبنיוס که توسط گ. فروبنיוס معرفی شد، شخصیت‌های نمایش‌های غیرقابل‌کاهش گروه تقارنی S_n را محاسبه می‌کند. این فرمول کاربردهای متعددی دارد، از جمله استخراج فرمول طول قلاب.

بيان فرمول

فرض کنید χ شخصیت یک نمایش غیرقابل‌کاهش از گروه تقارنی S_n متناظر با تقسیم‌بندی λ از n باشد. برای هر تقسیم‌بندی μ از n، C_μ کلاس همریختی متناظر در S_n را نشان می‌دهد. فرمول فروبنיוס بیان می‌کند که مقدار ثابت χ روی C_μ، ضریب مونوم x₁^μ₁x₂^μ₂...x_n^μ_n در چندجمله‌ای همگن زیر است:

p_λ(x₁, x₂, ..., x_n) = ∑ p_μ χ(C_μ)

مثال

برای n=3 و تقسیم‌بندی λ=(2,1)، مقدار χ(C₍₃₎) برابر با ضریب x₁²x₂ در چندجمله‌ای مربوطه است که برابر با -1 است.