تابع بوخشتاب
تابع بوخشتاب، نامگذاری شده به افتخار الکساندر بوخشتاب، یک تابع پیوسته و یکتا است که توسط معادله دیفرانسیل تأخیری زیر تعریف میشود:
در این معادله، مشتق در نقطه u = 2 باید هنگام نزدیک شدن u از راست محاسبه شود.
این تابع در سال ۱۹۳۷ توسط بوخشتاب معرفی شد و در نظریه اعداد تحلیلی کاربردهای مهمی دارد.
رفتار آسیمپتوتیک
تابع بوخشتاب به سرعت به 1/u نزدیک میشود، جایی که γ ثابت اویلر-ماشرونی است. در واقع:
در اینجا ρ تابع دیکمن است.
این تابع به صورت منظم نوسان میکند و بین مقادیر بیشینه و کمینه و صفرها متناوب میشود. فاصله بین مقادیر بیشینه و کمینه متوالی، همانند فاصله بین صفرهای متوالی، با نزدیک شدن u به بینهایت به ۱ میرسد.
کاربردها
تابع بوخشتاب برای شمارش اعداد خشن استفاده میشود. اگر Φ(x, y) تعداد اعداد صحیح مثبت کوچکتر یا مساوی x باشد که فاکتور اول کوچکتر از y ندارند، آنگاه برای هر u ثابت بزرگتر از ۱:
منابع
- "Buchstab Function", Wolfram MathWorld.
- §IV.32, "On Φ(x,y) and Buchstab's function", Handbook of Number Theory I, József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, and Borislav Crstici, Springer, 2006.
- "A differential delay equation arising from the sieve of Eratosthenes", A. Y. Cheer and D. A. Goldston, Mathematics of Computation 55 (1990), pp. 129–141.