تابع زتای بارنز

تعریف تابع زتای بارنز

تابع زتای بارنز با فرمول زیر تعریف می‌شود:

\( \zeta_N(s, w; a) = \sum_{n_1, \dots, n_N \geq 0} \frac{1}{(a_1 + n_1 + \dots + n_N)^s} \)

در این فرمول، \( w \) و \( a_j \) اعداد حقیقی مثبت و \( s \) یک عدد مختلط با بخش حقیقی بزرگتر از \( N \) است.

این تابع به تمام اعداد مختلط امتداد مرومورفیک دارد و تنها در نقاط \( s = 1, 2, \dots, N \) قطب‌های ساده دارد.

ارتباط با تابع زتای ریمان

در حالت خاص زمانی که \( N = w = a_1 = 1 \)، تابع زتای بارنز به تابع زتای ریمان تبدیل می‌شود.