قضیهٔ کانولوشن

قضیهٔ کانولوشن

در ریاضیات، قضیهٔ کانولوشن بیان می‌کند که تحت شرایط مناسب، تبدیل فوریهٔ کانولوشن دو تابع (یا سیگنال) برابر با ضرب نقطه‌ای تبدیل‌های فوریهٔ آنهاست. به طور کلی‌تر، کانولوشن در یک حوزه (مانند حوزهٔ زمان) معادل با ضرب نقطه‌ای در حوزهٔ دیگر (مانند حوزهٔ فرکانس) است.

برای تابع‌های پیوسته، اگر دو تابع f و g با تبدیل‌های فوریهٔ F و G داشته باشیم، کانولوشن آنها به صورت زیر تعریف می‌شود:

f ∗ g = ∫ f(τ)g(t-τ) dτ

قضیهٔ کانولوشن بیان می‌کند که:

F ⋅ G = F(f ∗ g)

کانولوشن دوره‌ای

برای تابع‌های دوره‌ای، کانولوشن دوره‌ای به صورت ضرب گسستهٔ ضریب‌های سری فوریه تعریف می‌شود. این قضیه در پردازش سیگنال‌های دوره‌ای کاربرد دارد.

تابع‌های گسسته

برای دنباله‌های گسسته، قضیهٔ کانولوشن به صورت مشابهی صادق است. کانولوشن گسسته با استفاده از تبدیل فوریهٔ گسسته (DFT) محاسبه می‌شود.