دسته گروه‌های آبلی

دسته Ab چیست؟

در ریاضیات، دسته Ab دسته‌ای است که اشیای آن را گروه‌های آبلی و ریخت‌های آن را هم‌ریختی‌های گروه تشکیل می‌دهند. این دسته، الگوی اصلی یک دسته آبلی است؛ به‌گونه‌ای که هر دسته آبلی کوچک را می‌توان در آن جاسازی کرد.

ویژگی‌های بنیادین

شیء صفر در Ab همان گروه بدیهی {0} است؛ یعنی گروهی که فقط شامل عضو خنثی است.

• تک‌ریختی‌ها: در Ab، تک‌ریختی‌ها همان هم‌ریختی‌های یک‌به‌یک‌اند.
• برریختی‌ها: برریختی‌ها همان هم‌ریختی‌های پوشا هستند.
• ایزارختی‌ها: ایزارختی‌ها همان هم‌ریختی‌های دوسویی‌اند.

دسته Ab زیردسته کاملی از Grp، یعنی دسته همه گروه‌ها، است. تفاوت اصلی این است که اگر f و g دو هم‌ریختی میان گروه‌های آبلی باشند، جمع آن‌ها نیز هم‌ریختی گروه است:

(f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = f(x)+g(x)+f(y)+g(y) = (f+g)(x)+(f+g)(y)

برابری سوم به جابجایی‌پذیری عمل گروه وابسته است. همین امکان جمع‌کردن ریخت‌ها، Ab را به یک دسته پیش‌جمعی تبدیل می‌کند؛ و چون حاصل‌جمع مستقیمِ شمار محدودی از گروه‌های آبلی هم‌زمان محصول و کو-محصول است، Ab یک دسته جمعی نیز هست.

هسته و هم‌هسته در Ab

در Ab، مفهوم هسته در معنای نظریه دسته‌ها با مفهوم جبری آن یکی می‌شود. برای هم‌ریختی f : A → B، هسته دسته‌ای برابر است با زیرگروه K از A که به‌صورت K = {x ∈ A : f(x) = 0} تعریف می‌شود، همراه با هم‌ریختی شمول i : K → A.

همین توضیح برای هم‌هسته نیز صادق است: هم‌هسته f گروه خارج‌قسمت C = B / f(A) است، همراه با تصویر طبیعی p : B → C. تفاوت مهم با Grp این است که در دسته همه گروه‌ها ممکن است f(A) زیرگروه نرمال B نباشد؛ در این حالت، ساخت گروه خارج‌قسمت B / f(A) ممکن نیست. با همین توصیف‌های عینی از هسته و هم‌هسته، می‌توان به‌راحتی بررسی کرد که Ab واقعاً یک دسته آبلی است.

محصول، کو-محصول و کامل بودن

محصول در Ab همان ضرب گروه‌هاست: مجموعه زیربنایی آن ضرب دکارتی مجموعه‌های زیربنایی است و عمل گروه مؤلفه‌به‌مؤلفه انجام می‌شود. چون Ab هسته‌ها را دارد، می‌توان نشان داد که این دسته کامل است.

کو-محصول در Ab با حاصل‌جمع مستقیم داده می‌شود. با داشتن کو-محصول‌ها و هم‌هسته‌ها، Ab هم‌کامل نیز هست.

فانکتور فراموشکار و ساختارهای ویژه

یک فانکتور فراموشکار Ab → Set وجود دارد که به هر گروه آبلی، مجموعه زیربنایی آن و به هر هم‌ریختی گروه، تابع زیربنایی مربوطه را نسبت می‌دهد. این فانکتور وفادار است؛ بنابراین، Ab یک دسته عینی محسوب می‌شود. این فانکتور یک مجاور چپ دارد که به هر مجموعه، گروه آبلی آزاد با همان مجموعه به‌عنوان پایه را نسبت می‌دهد؛ اما مجاور راست ندارد.

حد مستقیم گرفتن در Ab یک فانکتور دقیق است. از آنجا که گروه اعداد صحیح Z نقش یک مولد را ایفا می‌کند، Ab یک دسته گروتندیک است؛ در واقع، نمونه الگویی این نوع دسته‌ها به شمار می‌آید.

اشیای تزریقی و پروژکتیو

یک شیء در Ab تزریقی است اگر و فقط اگر گروهی تقسیم‌پذیر باشد؛ و پروژکتیو است اگر و فقط اگر گروهی آبلی و آزاد باشد. این دسته یک مولد پروژکتیو، یعنی Z، و یک هم‌مولد تزریقی، یعنی Q/Z، دارد.

ضرب تانسوری و ساختار مونوئیدال

برای دو گروه آبلی A و B، ضرب تانسوری A⊗B تعریف می‌شود و خود نیز یک گروه آبلی است. با این نوع ضرب، Ab ساختار یک دسته مونوئیدال متقارنِ بسته را پیدا می‌کند.

آیا Ab توپوس است؟

خیر؛ Ab یک توپوس نیست. برای نمونه، در یک دسته غیربدیهی مانند Ab، وجود شیء صفر با ویژگی‌های لازم برای توپوس بودن ناسازگار است.

مطالعه بیشتر

• دسته مدول‌ها: گروه‌های آبلی را می‌توان مدول‌هایی روی حلقه اعداد صحیح دانست.
• لایه‌های آبلی: بسیاری از ویژگی‌های دسته گروه‌های آبلی برای دسته لایه‌های گروه‌های آبلی نیز برقرار می‌ماند.