پایه (توان ریاضی)

پایه در عمل توان‌رسانی چیست؟

در عمل توان‌رسانی، پایه همان عدد b در عبارت bⁿ است. به بیان ساده‌تر، پایه عددی است که به دفعات مشخصی در خود ضرب می‌شود.

واژگان مرتبط

عدد n را «توان» می‌نامند و کل این عبارت را به‌صورت رسمی، «توان‌رسانی b به n» یا «نمایی از n با پایه b» می‌خوانند. در زبان روزمره معمولاً می‌گوییم «b به توان n» یا «توان n-ام b». برای نمونه، ۱۰ به توان چهارم برابر با ۱۰٬۰۰۰ است. واژه «توان» دقیقاً به کل عبارت اشاره دارد، اما گاهی به‌اشتباه برای اشاره به همان اسپاننت (توان) به کار می‌رود.

واژه «مبنا» (Radix) معادل سنتی پایه است، اما بیشتر به یکی از مبناهای رایج شمارش اطلاق می‌شود: مبنای دهدهی (۱۰)، دودویی (۲)، شانزده‌شانزدهی (۱۶) یا شصت‌شصتی (۶۰). با تمایز آشکار مفاهیم متغیر و ثابت در جبر، فرآیند توان‌رسانی از مرز توابع جبری فراتر رفت.

در کتاب «مقدمه‌ای بر تحلیل بی‌نهایت‌ها» (۱۷۴۸)، لئونارد اویلر در یک مثال به «پایه a = 10» اشاره کرد. او در بررسی جامع تابع F(z) = a^z، حرف a را «عدد ثابت» نامید؛ عددی که z ابتدا یک عدد صحیح مثبت، سپس منفی و در نهایت یک کسر یا عدد گویا را به خود اختصاص می‌دهد.

ریشه‌ها

هرگاه توان n-ام عدد b برابر با عدد a شود (یعنی a = bⁿ)، به b «ریشه n-ام a» می‌گویند. برای مثال، عدد ۱۰ ریشه چهارم ۱۰٬۰۰۰ محسوب می‌شود.

لگاریتم‌ها

تابع عکسِ توان‌رسانی با پایه b (در صورتی که خوش‌تعریف باشد)، لگاریتم با پایه b نام دارد و با نماد log_b نشان داده می‌شود. بنابراین رابطه زیر برقرار است:

log_b a = n

برای نمونه، لگاریتم ۱۰٬۰۰۰ در پایه ۱۰ برابر با ۴ است.