تابع تکین چیست؟
توابع تکین (Singularity functions) دستهای از توابع ناپیوستهاند که در نقاط تکین خود دارای گسست هستند؛ یعنی در این نقاط خاص، پیوستگی خود را از دست میدهند. در دنیای ریاضیات، این توابع بیشتر با نامهای توابع تعمیمیافته و نظریه توزیع شناخته و بررسی میشوند.
نمادگذاری این توابع با استفاده از براکتها به شکل ⟨x-a⟩ⁿ انجام میشود که در آن n یک عدد صحیح است. به این براکتها اغلب براکتهای تکین میگویند. تعریف این توابع به شرح زیر است:
- برای n = -2: تابع دلتای دیراک (که به آن تکانه واحد نیز میگویند).
- برای n = -1: مشتق اول تابع دلتای دیراک (که دوبلت واحد نامیده میشود).
- برای n = 0: تابع پله هویساید (برای x ≥ a مقدار ۱ و برای x < a مقدار ۰ دارد. مقدار دقیق در نقطه x = a به قرارداد انتخابی بستگی دارد).
- برای n = 1: تابع شیب (Ramp function).
نکته: مقدار تابع در نقطه x = a تنها برای n = 0 اهمیت پیدا میکند، زیرا برای سایر مقادیر n، ضریب ضربپذیر (x - a) باعث صفر شدن تابع در این نقطه میشود.
انتگرالگیری
انتگرالگیری از توابع تکین به روشی ساده انجام میشود که در آن، ثابت انتگرالگیری بهطور خودکار در نظر گرفته میگیرد؛ به این معنا که نتیجه در نقطه x = a برابر صفر خواهد بود.
مثال: محاسبه خمش تیر
با استفاده از نظریه تیر اویلر-برنولی، میتوان خمش یک تیر با تکیهگاههای ساده (همانطور که در نمودار مشخص است) با مقطع و مدول الاستیسیته ثابت را محاسبه کرد. در اینجا، قرارداد علامتگذاری به این صورت است که نیروهای رو به پایین و لنگرهای خمشیِ خیزدار، مثبت در نظر گرفته میشوند.
توزیع بار، نیروی برشی، لنگر خمش و شیب تیر با استفاده از توابع تکین به دست میآیند. از آنجا که شیب در نقطه x = 0 برابر صفر نیست، یک ثابت انتگرالگیری (c) به معادله اضافه میشود.
با اعمال شرط مرزی u = 0 در نقطه x = 4 متر، میتوان مقدار ثابت c را برابر با 7- نیوتنمتر مربع محاسبه کرد و بدین ترتیب معادله انحراف (خمش) تیر بهدست آید.