تابع تولیدکننده احتمال

در نظریه احتمال، تابع تولیدکننده احتمال یک متغیر تصادفی گسسته، نمایش سری توانی تابع جرم احتمال آن متغیر است. این تابع به دلیل توصیف فشرده توالی احتمالات Pr(X = i) در تابع جرم احتمال برای متغیر تصادفی X و استفاده از نظریه سری‌های توانی با ضرایب غیرمنفی، بسیار کاربردی است.

تعریف

اگر X یک متغیر تصادفی گسسته باشد که مقادیر غیرمنفی صحیح {0, 1, ...} را می‌گیرد، تابع تولیدکننده احتمال آن به صورت زیر تعریف می‌شود:

G_X(z) = ∑[p_X(i) * z^i] از i=0 تا ∞

که در آن p_X تابع جرم احتمال X است. این سری حداقل برای تمام اعداد مختلط z با |z| ≤ 1 به طور مطلق همگرا است.

خواص

تابع تولیدکننده احتمال از قواعد سری‌های توانی با ضرایب غیرمنفی پیروی می‌کند. به طور خاص، G(1-) = 1، زیرا مجموع احتمالات باید یک باشد. همچنین، لحظات و واریانس متغیر تصادفی را می‌توان از این تابع محاسبه کرد.

مثال‌ها

برای متغیر تصادفی ثابت، تابع تولیدکننده احتمال به صورت G(z) = z^c است. برای متغیر تصادفی دو جمله‌ای، این تابع به صورت (pz + (1-p))^n است.