روش شناسایی زیرفضایی در کنترل

شناسایی زیرفضایی چیست؟

در ریاضیات و به‌ویژه در نظریه کنترل، شناسایی زیرفضایی یا SID روشی برای ساخت مدل‌های فضای حالت خطی و زمان‌ناوردا از روی داده‌های ورودی و خروجی است. هدف اصلی این روش آن است که بدون نیاز به حدس اولیه یا پارامتری‌سازی دستی ماتریس‌های سیستم، مدل ریاضی مناسبی از رفتار یک سامانه به دست آید.

مزیت مهم شناسایی زیرفضایی این است که کاربر پیش از حل مسئله، مجبور نیست ماتریس‌های سیستم را پارامتری کند و سپس یک مسئله بهینه‌سازی پارامتری را حل کند. به همین دلیل، این روش معمولاً با مشکل رایج گیر افتادن در کمینه‌های محلی روبه‌رو نمی‌شود؛ مشکلی که در بسیاری از روش‌های شناسایی پارامتری می‌تواند به نتایج ضعیف یا ناکافی منجر شود.

ریشه‌های تاریخی روش

ریشه‌های روش‌های شناسایی زیرفضایی به کارهای لئوپولد کرونکر، ریاضی‌دان آلمانی، بازمی‌گردد. کرونکر نشان داد که اگر رتبه عملگر هانکلِ وابسته به یک سری توانی متناهی باشد، آن سری توانی را می‌توان به صورت یک تابع گویا نوشت. در این چارچوب، رتبه عملگر هانکل، مرتبه چندجمله‌ای‌های تابع گویا را تعیین می‌کند.

در دهه ۱۹۶۰، ایده‌های کرونکر الهام‌بخش پژوهشگرانی مانند هو و کالمن، سیلورمن، یولا و تیسی شد. آن‌ها دریافتند که می‌توان پارامترهای مارکوف یک سامانه خطی زمان‌ناوردا را در یک ماتریس هانکل با بعد متناهی ذخیره کرد و از آن، یک نمایش فضای حالت شامل ماتریس‌های A، B و C به دست آورد.

نکته کلیدی این بود که اگر ماتریس هانکل با توجه به مرتبه سامانه به‌درستی انتخاب شود، رتبه آن برابر با مرتبه سامانه خواهد بود. همچنین، تجزیه مقادیر منفرد یا SVD ماتریس هانکل پایه‌هایی برای فضای ستونی ماتریس روپذیری و فضای سطری ماتریس کنترل‌پذیری فراهم می‌کند. با شناخت این فضاها، می‌توان ماتریس‌های سیستم را با استفاده از کمترین مربعات خطی تخمین زد.

گسترش به مسئله تحقق تصادفی

در ادامه، پژوهشگرانی مانند آکائیکه این ایده‌ها را به مسئله تحقق تصادفی گسترش دادند. در این حالت، تنها تابع خودهمبستگی یا کوواریانس خروجی یک سامانه خطی زمان‌ناوردا در اختیار است؛ سامانه‌ای که تحت اثر نویز سفید قرار گرفته است. این رویکرد راه را برای شناسایی سیستم‌هایی باز کرد که داده‌های آن‌ها ماهیت تصادفی دارد.

نسل دوم روش‌های شناسایی زیرفضایی

در فاصله سال‌های ۱۹۸۵ تا ۱۹۹۵، نسل دوم روش‌های شناسایی زیرفضایی شکل گرفت. هدف این نسل آن بود که روش‌ها بتوانند مستقیماً روی داده‌های ورودی-خروجی یک سامانه خطی زمان‌ناوردا کار کنند، بدون آنکه پیش از شناسایی، پارامترهای مارکوف یا نمونه‌های تابع کوواریانس به‌صورت جداگانه محاسبه شوند.

یکی از روش‌های مهم این دوره، الگوریتم تحقق سیستم ویژه یا ERA بود. این روش از داده‌های ورودی-خروجی خاصی استفاده می‌کرد که با ورودی ضربه‌ای به دست می‌آمدند. ERA در تحلیل مودال سازه‌های انعطاف‌پذیر، مانند پل‌ها و سازه‌های فضایی، کاربرد زیادی پیدا کرد.

با این حال، این روش‌ها برای سازه‌های تشدیدی عملکرد خوبی داشتند، اما در سامانه‌هایی با رفتار متفاوت یا با ورودی‌هایی غیر از ضربه، چندان موفق نبودند. همین محدودیت‌ها انگیزه‌ای برای توسعه روش‌هایی شد که بتوانند مستقیماً با داده‌های عمومی ورودی-خروجی کار کنند.

از چهره‌های پیشگام این تحول می‌توان به ون اورشی و دی مور اشاره کرد که رویکرد N4SID را معرفی کردند، ورهگن که روش MOESP را ارائه کرد، و لاریمور که روش ST را در چارچوب تحلیل واریانس‌های کانونی یا CVA مطرح ساخت.

جایگاه شناسایی زیرفضایی در کنترل نوین

امروزه شناسایی زیرفضایی به‌عنوان یکی از روش‌های مهم در شناسایی سیستم، مدل‌سازی داده‌محور و طراحی کنترل‌کننده شناخته می‌شود. این روش به‌ویژه زمانی ارزشمند است که داده‌های ورودی-خروجی در دسترس باشند، اما مدل دقیق فیزیکی سامانه به‌سادگی قابل استخراج نباشد.

• نیاز کم به پارامتری‌سازی اولیه
• قابلیت کار با داده‌های ورودی-خروجی
• پرهیز نسبی از مشکلات بهینه‌سازی غیرخطی
• ارتباط مستقیم با مفاهیم کنترل‌پذیری و روپذیری
• کاربرد در مدل‌سازی، تحلیل مودال و طراحی کنترل

شناسایی زیرفضایی پلی میان داده‌های اندازه‌گیری‌شده و مدل‌های فضای حالت است؛ مدلی که می‌تواند مبنای تحلیل، شبیه‌سازی و طراحی کنترل‌کننده قرار گیرد.