سنجه ریسک چیست؟
در ریاضیات مالی، از سنجه ریسک (Risk Measure) برای تعیین میزان دارایی یا مجموعهای از داراییها (معمولاً پول نقد) استفاده میشود که باید به عنوان ذخیره نگهداری شود. هدف از این ذخیره، قابلقبول کردن ریسکهای پذیرفتهشده توسط نهادهای مالی مانند بانکها و شرکتهای بیمه برای نهادهای نظارتی است. در سالهای اخیر، توجه پژوهشگران به سمت سنجههای محدب (Convex) و منسجم (Coherent) ریسک معطوف شده است.
تعریف ریاضی
از نظر ریاضی، سنجه ریسک نگاشتی از مجموعهای از متغیرهای تصادفی به اعداد حقیقی است. این مجموعه از متغیرهای تصادفی، بازدهی پرتفوی را نشان میدهد. نماد رایج برای سنجه ریسک مرتبط با متغیر تصادفی X، به صورت ρ(X) است. یک سنجه ریسک باید ویژگیهای مشخصی داشته باشد:
- نرمالسازی (Normalized): ρ({0}) = {0}
- انتقالی (Translative): ρ(X + a*r) = ρ(X) - a
- یکنواخت (Monotone): اگر X ≤ Y آنگاه ρ(Y) ≤ ρ(X)
سنجههای مجموعهای (Set-valued)
در شرایطی که با پرتفویهای چندبُعدی مواجه هستیم و ریسک را میتوان بر حسب چند دارایی پایه اندازهگیری کرد، نمایش ریسک به شکل مجموعهای از پرتفویها روش درستی است. سنجههای ریسک مجموعهای برای بازارهایی با هزینههای معاملاتی بسیار کاربردی هستند.
تعریف ریاضی مجموعهای
سنجه ریسک مجموعهای تابعی به شکل R: L_p → 2^{R^d} است. در این تابع، L_p یک فضای Lp به بُعد d است و خروجی آن شامل یک مخروط ثبات و مجموعهای از پرتفویهای داراییهای مرجع است. این تابع باید ویژگیهای زیر را داشته باشد:
- نرمالسازی: R({0}) = {0}
- انتقالی در M: R(X + m) = R(X) - m
- یکنواخت: اگر X ≤ Y آنگاه R(Y) ⊆ R(X)
نمونههای رایج سنجههای ریسک
- ارزش در معرض ریسک (Value at risk)
- کسر مورد انتظار (Expected shortfall)
- سنجههای ریسک روی هم قرار گرفته (Superposed risk measures)
- ارزش در معرض ریسک آنتروپی (Entropic value at risk)
- بازگشت سرمایه (Drawdown)
- امید ریاضی شرطی دم (Tail conditional expectation)
- سنجه ریسک آنتروپی (Entropic risk measure)
- قیمت ابرپوشش (Superhedging price)
- اگزیپکتایل (Expectile)
واریانس؛ آیا واقعاً سنجه ریسک است؟
واریانس (یا انحراف معیار) در مفهوم فوق، سنجه ریسک محسوب نمیشود. دلیل آن این است که واریانس نه ویژگی انتقالی دارد و نه یکنواخت؛ یعنی برای هر X، ρ(X + a) ≠ ρ(X) - a است و نمونههای خلافی برای یکنواختی آن وجود دارد. انحراف معیار در واقع یک سنجه ریسک انحرافی است. البته توجه داشته باشید که در برخی حوزههای دیگر، به سنجههای انحرافی مانند واریانس نیز سنجه ریسک میگویند که ممکن است باعث اشتباه شود.
ارتباط با مجموعه پذیرش
بین یک مجموعه پذیرش (Acceptance set) و سنجه ریسک متناظر با آن، تناظر یکبهیک وجود دارد. همانطور که در ادامه نشان داده شده است، رابطه متقابل آنها اثبات شده است.
از سنجه ریسک تا مجموعه پذیرش
- اگر ρ یک سنجه ریسک (اسکالر) باشد، آنگاه A = {X ∈ L | ρ(X) ≤ 0} یک مجموعه پذیرش است.
- اگر R یک سنجه ریسک مجموعهای باشد، آنگاه A = {X ∈ L | 0 ∈ R(X)} یک مجموعه پذیرش است.
از مجموعه پذیرش تا سنجه ریسک
- اگر A یک مجموعه پذیرش (یکبُعدی) باشد، آنگاه ρ(X) = inf{m ∈ R | m + X ∈ A} یک سنجه ریسک (اسکالر) را تعریف میکند.
- اگر A یک مجموعه پذیرش باشد، آنگاه R(X) = {m ∈ M | m + X ∈ A} یک سنجه ریسک مجموعهای را تعریف میکند.
ارتباط با سنجه ریسک انحرافی
بین سنجه ریسک انحرافی D و سنجه ریسک محدودشده به امید ریاضی ρ، رابطه یکبهیک وجود دارد. برای هر X رابطه زیر برقرار است:
D(X) = -ρ(X) + E[X]
اگر ρ برای هر متغیر تصادفی غیرثابت X نامساوی E[X] و برای هر متغیر ثابت X مساوی X باشد، به آن سنجه ریسک محدودشده به امید ریاضی (Expectation-bounded) میگویند.