توزیع لواندوفسکی-کورویتسکا-جو چیست؟
در نظریه احتمال و آمار بیزی، توزیع لواندوفسکی-کورویتسکا-جو که بیشتر با نام توزیع LKJ شناخته میشود، توزیعی احتمال روی ماتریسهای متقارن معین مثبت با قطر واحد است. این ماتریسها همان ماتریسهای همبستگیاند.
کاربرد اصلی توزیع LKJ در مدلسازی سلسلهمراتبی بیزی است؛ جایی که پژوهشگر میخواهد ساختار کوواریانس دادهها را برآورد کند. ساختار کوواریانس را میتوان به دو بخش تقسیم کرد: یک بردار مقیاس و یک ماتریس همبستگی.
چرا در مدلسازی بیزی از LKJ استفاده میشود؟
در بسیاری از مدلهای بیزی، بهجای اینکه مستقیماً روی ماتریس کوواریانس پیشتوزیع انتخاب شود، بهتر است برای ماتریس همبستگی و مقیاسها جداگانه پیشتوزیع در نظر گرفته شود. توزیع LKJ میتواند بهعنوان پیشتوزیع ماتریس همبستگی به کار برود و در کنار یک پیشتوزیع مناسب برای بردار مقیاس، مدل را منظمتر و قابلکنترلتر کند.
این رویکرد نسبت به استفاده از پیشتوزیعهایی مانند توزیع وارون ویشارت روی ماتریس کوواریانس، در بسیاری از کاربردها انعطاف و پایداری بیشتری ایجاد میکند.
جایگاه LKJ در توزیعهای چندبعدی
توزیع LKJ نخست در چارچوبی عمومیتر معرفی شد و نمونهای از کاپولای واین به شمار میرود؛ رویکردی برای ساخت توزیعهای احتمال چندبعدی با محدودیتهای ساختاری.
این توزیع در زبان برنامهنویسی احتمالاتی Stan پیادهسازی شده و در اکوسیستم Julia نیز از طریق کتابخانه Turing.jl قابل استفاده است.
تابع چگالی احتمال
توزیع LKJ یک پارامتر شکل دارد که با η نشان داده میشود. برای یک ماتریس همبستگی X با ابعاد n × n، تابع چگالی احتمال بهصورت زیر نوشته میشود:
f(X) = |X|η − 1 / C
در این رابطه، C ثابت نرمالسازی است و از حاصلضرب تابعهای بتا به دست میآید:
C = ∏j=1n−1 [B(η + (n − j − 1)/2, η + (n − j − 1)/2) / B(η + (n − j − 1)/2, 1/2)]
وقتی η = ۱ باشد، توزیع LKJ روی فضای همه ماتریسهای همبستگی یکنواخت میشود؛ یعنی همه ماتریسهای متقارن معین مثبت با قطر واحد احتمال یکسانی دارند.
منابع و پیوندهای پیشنهادی
- توضیح توزیع LKJ در راهنمای رسمی Stan
- کاوش تعاملی توزیعهای احتمال در Distribution Explorer