تقارن پیمانهای در ریاضیات
در ریاضیات، هر سیستم لاگرانژی بهطور کلی تقارنهای پیمانهای را میپذیرد؛ هرچند ممکن است این تقارنها بدیهی باشند. در فیزیک نظری، مفهوم تقارنهای پیمانهای وابسته به توابع پارامتر، سنگ بنای نظریههای میدانی معاصر به شمار میرود.
تقارن پیمانهای یک لاگرانژی، بهصورت یک عملگر دیفرانسیلی روی یک بسته برداری (Vector Bundle) تعریف میشود که مقادیرش در فضای خطی تقارنهای (تفاضلی یا دقیق) لاگرانژی قرار دارد. بنابراین، تقارن پیمانهای به مقاطع (Sections) بسته برداری و مشتقات جزئی آنها وابسته است. برای نمونه، همین وضعیت در مورد تقارنهای پیمانهای نظریه میدان کلاسیک برقرار است. نظریه پیمانهای یانگ-میلس و نظریه پیمانهای گرانش، نمونههایی از نظریههای میدان کلاسیک با تقارنهای پیمانهای هستند.
ویژگیهای خاص تقارنهای پیمانهای
تقارنهای پیمانهای دو ویژگی خاص زیر را دارا هستند:
- از آنجا که تقارنهای پیمانهای، تقارنهای لاگرانژی محسوب میشوند، از قضیه اول نوتر پیروی میکنند؛ اما جریان پایسته متناظر با آنها، فرم خاص سوپرپتانسیل به خود میگیرد. در این فرم، جمله اول روی جوابهای معادلات اویلر-لاگرانژی صفر میشود و جمله دوم، یک جمله مرزی است که به آن سوپرپتانسیل میگویند.
- طبق قضیه دوم نوتر، تناظر یکبهیک میان تقارنهای پیمانهای لاگرانژی و هویتهای نوتری که عملگر اویلر-لاگرانژی آنها را ارضا میکند، وجود دارد. در نتیجه، تقارنهای پیمانهای، تحلیلرفتگی (Degeneracy) سیستم لاگرانژی را مشخص میکنند.
تقارن پیمانهای در نظریه میدان کوانتومی
در نظریه میدان کوانتومی، تابعیال مولد ممکن است تحت تبدیلات پیمانهای ناوردا نباشد؛ به همین دلیل، تقارنهای پیمانهای با تقارنهای BRST جایگزین میشوند. این تقارنهای جدید به شبحها (Ghosts) وابستهاند و هم بر میدانها و هم بر شبحها اثر میگذارند.