اپراتور جابه‌جایی

تعریف

در مطالعه مکانیک کوانتوم فضای فاز نوری، اپراتور جابه‌جایی برای یک حالت، همان اپراتور شیب در نور کوانتوم است،

$D(\alpha) = \exp(\alpha a^\dagger - \alpha^* a)$

که در آن $\alpha$ مقدار جابه‌جایی در فضای فاز نوری، $\alpha^*$ مرکب متقابل آن و $a$ و $a^\dagger$ به ترتیب اپراتورهای پایین‌آوردن (نابودی) و بالا‌بردن (خلق) هستند.

نام این اپراتور از توانایی آن در جابه‌جایی یک حالت محلی‌سازی‌شده در فضای فاز به میزان $\alpha$ گرفته شده است. همچنین می‌تواند بر حالت خلأ عمل کرده و آن را به یک حالت هماهنگ تبدیل کند. به طور خاص،

$D(\alpha)|0\rangle = |\alpha\rangle$

که در آن $|\alpha\rangle$ یک حالت هماهنگ است، که خود یک حالت ویژه اپراتور نابودی (پایین‌آوردن) می‌باشد.

خواص

اپراتور جابه‌جایی یک اپراتور واحد (unitary) است و بنابراین از رابطه زیر پیروی می‌کند:

$D^\dagger(\alpha) D(\alpha) = I$

که در آن $I$ اپراتور همانی است. از آنجا که $D^\dagger(\alpha) = D(-\alpha^*)$، هم‌مرکب اپراتور جابه‌جایی را نیز می‌توان به عنوان یک جابه‌جایی با اندازه مخالف ($-\alpha$) تفسیر کرد. اثر اعمال این اپراتور در یک تبدیل شباهت (similarity transformation) اپراتورهای نردبان، منجر به جابه‌جایی خود آن‌ها می‌شود.

حاصلضرب دو اپراتور جابه‌جایی، یک اپراتور جابه‌جایی دیگر است که جابه‌جایی کل آن (تا یک فاز) مجموع دو جابه‌جایی فردی است. این موضوع با استفاده از فرمول بکر-کمپبل-هاوسدورف قابل مشاهده است:

$D(\alpha)D(\beta) = e^{\sigma \operatorname{Im}(\alpha^*\beta)} D(\alpha+\beta)$

که نشان می‌دهد:

هنگام اعمال بر یک بره ویژه (eigenket)، فاکتور فاز $e^{\sigma \operatorname{Im}(\alpha^*\beta)}$ در هر جمله حالت حاصل ظاهر می‌شود که آن را از نظر فیزیک بی‌اهمیت می‌کند.

این موضوع به رابطه braiding منجر می‌شود:

$D(\alpha)D(\beta) = e^{\sigma \operatorname{Im}(\alpha^*\beta)} D(\beta)D(\alpha)$

عبارات جایگزین

شناسایی کرمک-مک‌کری (Kermack-McCrae identity) دو راه جایگزین دیگر برای بیان اپراتور جابه‌جایی می‌دهد:

جابه‌جایی چندحالته

اپراتور جابه‌جایی را نیز می‌توان به جابه‌جایی چندحالته تعمیم داد. یک اپراتور خلق چندحالته می‌تواند به صورت زیر تعریف شود:

$a_k(\mathbf{r}) = \sqrt{(L/2\pi^2)} k_x(\mathbf{r})$

که در آن $k_x$ بردار موج و بزرگایی آن مطابق با $\omega = c|k|$ با فرکانس $\omega$ مرتبط است. با استفاده از این تعریف، می‌توانیم اپراتور جابه‌جایی چندحالته را به صورت زیر بنویسیم:

$D(\alpha_k) = \exp(\alpha_k a_k^\dagger - \alpha_k^* a_k)$

و حالت هماهنگ چندحالته را به صورت زیر تعریف کنیم:

$|\alpha_k\rangle = D_k(\alpha_k)|0\rangle$